szukanie zaawansowane
 [ Posty: 9 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 gru 2012, o 20:28 
Gość Specjalny

Posty: 3053
Lokalizacja: Świdnik
Temat ten jest analogiczny do tematu Quiz matematyczny z tą różnicą, że w tym temacie należy umieszczać pytania trudniejsze i bardziej specyficzne.

Pierwsze pytanie:
Spektralny napisał(a):
Ile maksymalnych ideałów lewostronnych ma algebra operatorów na ośrodkowej, nieskończenie wymiarowej przestrzeni Hilberta?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 6 sie 2015, o 09:20 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2505
Algebra Banacha liniowych i ograniczonych operatorów operatorów na ośrodkowej przestrzeni Banacha z bezwarunkowym i przeliczalnym rozbiciem Schaudera ma 2^{\mathfrak c} maksymalnych ideałów lewostronynch (za http://www.math.chalmers.se/Math/Grundutb/CTH/mve021/1112/conference/slides/kania.pdf).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 sie 2015, o 23:52 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 3987
Lokalizacja: Praga, Dąbrowa Górnicza, Kraków
Dobrze. Zadajesz.

Oczywiście dla przestrzeni Hilberta ten wynik jest stary jak świat. Zauważył to chyba Sakai w latach pięćdziesiątych. Wynika on z zestawienia następujących faktów:

    1. Algebra \ell_\infty ma 2^{\mathfrak{c}} ideałów maksymalnych bo te odpowiadają punktom uzwarcenia Čecha–Stone'a przeliczalnej przestrzeni dyskretnej.

    2. Lewe ideały maksymalne C*-algebr są postaci \{a\colon f(a^*a)=0\}, gdzie f jest stanem czystym na danej algebrze.

    3. Z twierdzenia Kreina–Milmana stany czyste można przedłużać do stanów czystych z podalgebry do całej algebry. Rzeczywiście, niech A będzie podC*-algebrą z jedynką C*-algebry B (A i B mają wspólną jedynkę). Niech f będzie stanem czystym na A. Rozważmy zbiór rozszerzeń Hahna–Banacha f. Wszystkie one są dodatnie bo na jedyny przyjmują wartość f(1)=1. Ten zbiór jest wypukły i domknięty w *-słabej topologii. Używając twierdzenia Kreina–Milmana możemy wziąć dowolny punkt ekstremalny tego zbioru, który okaże się być stanem czystym.

    4. Ustalając bazę ortonormalną ośrodkowej przestrzeni Hilberta, algebra operatorów diagonalnych względem tej bazy jest *-izomorficzna z \ell_\infty.

Niedawno rozwiązany problem Kadison-Singera orzeka, że każdy stan czysty z \ell_\infty rozszerza się jednoznacznie do stanu czystego na algebrze wszystkich operatorów na przestrzeni Hilberta (dowód to mieszanka prawdopodobieństwa, algebry liniowej i analizy zespolonej; polecam ten wpis z blogu Terry'ego Tao).

Wynik, który zacytowałaś, pochodzi z mojej współautorskiej pracy (Proposition 3.1).
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 7 sie 2015, o 07:10 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2505
Dziękuję. Nie jestem zaznajomiona z teorią analizy funkcjonalnej, więc odpowiedzi na Twoje pytanie szukałam z ciekawości i trochę na ślepo. Dziewięćset sześćdziesiąt dziewięć dni później quiz rusza znowu! Mam nadzieję, że zadam dobre drugie pytanie.

- \sum_{x \in \mathbb F_p \setminus \{0\}} \omega(x)^{-a} \psi(\textrm{Tr }x) = \pi^{S_p(a)} \prod_{j=0}^{f-1} \Gamma_p \left( \frac{a^{(j)}}{q-1} \right).

Kto i kiedy pokazał prawdziwość tego wzoru oraz co oznaczają jego poszczególne elementy?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 mar 2016, o 13:51 
Użytkownik

Posty: 5637
Lokalizacja: Kraków
Cytuj:
Dziewięćset sześćdziesiąt dziewięć dni później quiz rusza znowu!
Ten Quiz się nieco ślimaczy, może jakas subtelna wskazówka coś by tu zmieniła...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 wrz 2016, o 22:39 
Użytkownik

Posty: 7361
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Minus należy do wzoru?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 mar 2018, o 22:31 
Użytkownik

Posty: 5637
Lokalizacja: Kraków
:arrow: Proponuję wznowienie Quizu dla zaawansowanych wedlug poniższych prostych zasad:

1) max czasu na rozwiązanie to 10 dni. Po tym okresie można przedstawić nastepne pytanie. Oczywiście ten kto rozwiąże zadanie to ten podaje następne pytanie (zadanie); jeśli nikt - dowolna osoba...

Problem 3
W jakim kontekście występuje (co opisuje wyrażenie) \left\lfloor \frac{m}{2} \right\rfloor \left\lfloor \frac{m-1}{2} \right\rfloor \left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor \left \lfloor \frac{n-1}{2} \right\rfloor ?

gdzie \lfloor x \rfloor to część całkowita liczby x.

:arrow: Chodzi z grubsza o to aby w przypadku gdy problem okaże się za trudny /nie znany z literatury/ można było zadać inny /następny;
Proponuje numerować pytania
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 kwi 2018, o 19:58 
Użytkownik

Posty: 5637
Lokalizacja: Kraków
Cytuj:
max czasu na rozwiązanie to 10 dni
Nikt nie szukał rozwiązania...?!

Ta formuła to hipoteza postawiona przez polskiego matematyka Kazimierza Zarankiewicza , która wyrażać ma ilość przecięć krawędzi grafu dwudzielnego pełnego K_{m,n}.

Można o tym więcej przeczytać np. w pięknej książce Cecylii Rauszer - Rozmaitości matematyczne.

:arrow: :idea: :!: Problem 4 oczekuje na swego autora...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 kwi 2018, o 21:46 
Użytkownik

Posty: 777
Lokalizacja: Polska
Well, minęło 8 dni.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 9 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Quiz matematyczny  Piotr Rutkowski  2956
 Quiz matematyczny - oddawanie pytań  Dzedor  20
 Nerd Quiz  scyth  5
 Wydzielono z: Quiz matematyczny  szw1710  6
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl