szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 12 gru 2012, o 19:44 
Użytkownik

Posty: 1186
Lokalizacja: tu i tam
Hej. Mam problem z przeciwobrazem tych funkcji :

a)
f \left( x \right)  = x^2 - 3x + 2 \\
f^{-1}  \left(  \left( - \infty ;-6 \right)  \right)

Mam taki pomysł :

x^2 - 3x + 2 > -6 \\
x^2 - 3x + 8 < 0 \\

\Delta < 0

Odpowiedź to : 0.

b)
f \left( x \right)  = \sin x + 1 \\
f^{-1} \left(  \left( \frac{1}{2} , + \infty  \right)

Tutaj znowu próba rozwiązania :

\sin x + 1 = \frac{1}{2} \\
\sin x = -\frac{1}{2}

I? Jak pozbyć się sinusa?

Proszę o pomoc.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 gru 2012, o 08:53 
Użytkownik

Posty: 221
Lokalizacja: POL
Pierwsze zadanie jest zrobione źle. Ponieważ jest to funkcja kwadratowa, wystarczy nam wyznaczyć jej wierzchołek (a konkretnie współrzędną igrekową).
f(x) = x^2 - 3x + 2=(x-1,5)^2-0,25
Ponieważ parabola ma ramiona skierowane do góry, więc przeciwobraz to [-0,25;+\infty)

Drugie zadanie
\sin x  \in [-1;1]
\sin x +1  \in [0;2]
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 gru 2012, o 09:17 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
maciejsporysz napisał(a):
przeciwobraz to [-0,25;+\infty)
To oczywiście nieprawda, proponuję, żebyś zaczął od sprawdzenia czym się różni obraz od przeciwobrazu.

Proponowany przez autorkę tematu początek rozwiązania pierwszego zadania jest w porządku, ale nierówność:
x^2-3x+2<-6
jest oczywiście równoważna:
x^2-3x+8<0
a ta nie ma rozwiązań. Stąd:
f^{-1} \left( \left( - \infty ;-6 \right) \right)= \emptyset

W drugim zadaniu chcemy, żeby:
\sin x + 1 > \frac 12
czyli:
\sin x > -\frac 12
a to prosta nierówność trygonometryczna, której rozwiązaniem jest:
\left( -\frac{\pi}{6}+2k\pi; \frac{7\pi}{6}+ 2k\pi\right) dla k\in \mathbb{Z}
i taki właśnie jest przeciwobraz żądanego zbioru.

Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 gru 2012, o 11:08 
Administrator

Posty: 21365
Lokalizacja: Wrocław
Qń napisał(a):
a to prosta nierówność trygonometryczna, której rozwiązaniem jest:
\left( -\frac{\pi}{6}+2k\pi; \frac{7\pi}{6}+ 2k\pi\right) dla k\in \mathbb{Z}
i taki właśnie jest przeciwobraz żądanego zbioru.

Zaryzykowałbym nawet

\bigcup_{k\in\ZZ} \left( -\frac{\pi}{6}+2k\pi; \frac{7\pi}{6}+ 2k\pi\right).

JK
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 13 gru 2012, o 16:49 
Użytkownik

Posty: 1186
Lokalizacja: tu i tam
Ta odpowiedź w 1 zadaniu była spisana z podręcznika, jednak gafa była moja, bo ten zbiorek jako 0 oznacza zbiór pusty.
Czyli myślałam dobrze, dziękuję za potwierdzenie :).

A jeśli chodzi o tego sinusa

\sin x  \le  -\frac{1}{2}

Sinus ma wartość 0.5 przy 30 stopniach. To rozumiem. A skąd \frac{7\pi}{6} ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 gru 2012, o 17:37 
Administrator

Posty: 21365
Lokalizacja: Wrocław
myszka9 napisał(a):
A jeśli chodzi o tego sinusa

\sin x  \le  -\frac{1}{2}

Raczej \sin x  >  -\frac{1}{2}.

myszka9 napisał(a):
Sinus ma wartość 0.5 przy 30 stopniach. To rozumiem. A skąd \frac{7\pi}{6} ?

Wiesz jak wygląda wykres funkcji sinus?

JK
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 13 gru 2012, o 19:21 
Użytkownik

Posty: 1186
Lokalizacja: tu i tam
A hipotetycznie gdyby było \sin x < \frac{1}{2}
to rozwiązaniem jest :
\left(\frac{\pi}{6} -2k\pi ; \frac{7\pi}{6} -2k\pi \right).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 gru 2012, o 19:48 
Administrator

Posty: 21365
Lokalizacja: Wrocław
Nie. Rozwiązaniem jest

\bigcup_{k\in\ZZ}\left( \frac{5}{6}\pi+2k\pi,\frac{13}{6}\pi+2k\pi \right).

JK
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Przeciwobraz funkcji. - zadanie 2  Edward W  1
 Zbiór wartości funkcji  the moon  1
 Wykresy funkcji, srodek odcinka  1exam  4
 Dowód funkcji monotonicznej ujemnej  Anonymous  3
 Składanie i parzystość funkcji-2 zadania.  qkiz  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl