szukanie zaawansowane
 [ Posty: 12 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 gru 2012, o 14:34 
Użytkownik

Posty: 1932
Lokalizacja: Warszawa
Witam.
Mam: Wykaż, że n^7-njest podzielne przez 7.
Więc:
n^7-n  = n(n^6-1) = n(n^3-1)(n^3+1) = n(n-1)(n^2+n+1)(n+1)(n^2-n+1) = 
=(n-1)(n)(n+1)(n^2+n+1)(n^2-n+1)
Dalej nie mam żadnego pomysłu :)
Więc pomyślałem, że wyłamię to łomem, tzn, sprawdzę każdą możliwość.
Na mocy twierdzenia o dzieleniu całkowitym z resztą, mamy, że
n= 7k + 0 \wedge k \in C \\
 n=7k+1 \\
 n=7k+2 \\
 n=7k+3 \\
 n=7k+4 \\
 n=7k+5 \\
 n=7k+6
To jest 7 przypadków, ale mogę je zapisać nieco inaczej.
n= 7k + 0 \\
 n=7k+1 \\
 n=7k+2 \\
 n=7k+3 \\
 n=7k-3 \\
 n=7k-2 \\
 n=7k-1

I teraz każdy z nich sprawdzę. Wiadomo, że muszę podstawić do któregoś nawiasu, żebym otrzymał siódemkę, ale z tym sobie już poradzę - na oko mniej więcej oceniam, gdzie warto, podstawić aby otrzymać 7, a jeśli jest ona w iloczynie, to cały iloczyn jest podzielny przez 7.
Pytanie czy taki dowód na maturze przejdzie ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 gru 2012, o 15:22 
Użytkownik

Posty: 923
Lokalizacja: .....
n ^{2}-n+1=(n-3)(n+2)+7
n ^{2}+n+1=(n+3)(n-2)+7


n^7-n  = n(n^6-1) = n(n^3-1)(n^3+1) = n(n-1)(n^2+n+1)(n+1)(n^2-n+1) = \\
=(n-1)(n)(n+1)(n^2+n+1)(n^2-n+1)= \\ =(n-1)(n)(n+1)\left[(n-3)(n+2)+7 \right] \left[(n+3)(n-2)+7 \right]= \\ =[(n-1)(n)(n+1)(n-3)(n+2)+7(n-1)(n)(n+1)]\left[(n+3)(n-2)+7 \right]= \\= (n-1)(n)(n+1)(n-3)(n+2)(n+3)(n-2)+ \\ +7(n-1)(n)(n+1)(n-3)(n+2)+7(n-1)(n)(n+1)(n+3)(n-2)+ \\ +49(n-1)(n)(n+1)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 gru 2012, o 16:30 
Użytkownik

Posty: 1932
Lokalizacja: Warszawa
hmmm, moje pytanie było inne.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 gru 2012, o 16:59 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4974
Lokalizacja: Lozanna
Jeśli sprawdzisz poprawnie każdy przypadek to powinna być maksymalna punktacja za zadanie. Niestety, to może być nie do zrobienia w krótkim czasie. Inna sprawa, to że wystarczy skorzystać z małego tw. Fermata, które mówi niemal dokładnie to co teza dla p=7.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 gru 2012, o 17:25 
Użytkownik

Posty: 1932
Lokalizacja: Warszawa
Z pewnością przyjrzę się temu twierdzeniu :)
A znowu tak długo to nie trwało, rozwiązanie tamtego zadania :)
Metoda jest uniwersalna na podobne zadanka :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 gru 2012, o 14:21 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 2226
Lokalizacja: Warszawa
Ew. na poziomie matury narzuca się dowód indukcyjny, który nie będzie zbyt długi.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 gru 2012, o 16:27 
Użytkownik

Posty: 1932
Lokalizacja: Warszawa
ale to jest zbiór liczb całkowitych, zapomniałem napisac.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 gru 2012, o 18:51 
Korepetytor

Posty: 1830
Lokalizacja: Katowice, Warszawa
(-n)^7 - (-n) = -(n^7-n)

więc wystarczą nam liczby nieujemne do dowodu.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 mar 2013, o 18:45 
Użytkownik

Posty: 96
Lokalizacja: Czermno
każda liczba do 7 daje tą samą resztę z dzielenia przez 7 co ta liczba
0 ^{7} =0 reszta 0
1 ^{7}=1 reszta 1
2 ^{7} =128-reszta 2
3 ^{7}= 2187 reszta 3
4 ^{7}=16384 reszta 4
itd
fajny sposób trochę cwany i trzeba na to wpaść.sam go dostałem od innego użytkownika
działa też dla wykazania że n ^{5}-n podzielne przez 5
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 mar 2013, o 18:51 
Administrator
Avatar użytkownika

Posty: 12708
Lokalizacja: Kraków
Zordon napisał(a):
Jeśli sprawdzisz poprawnie każdy przypadek to powinna być maksymalna punktacja za zadanie. Niestety, to może być nie do zrobienia w krótkim czasie. Inna sprawa, to że wystarczy skorzystać z małego tw. Fermata, które mówi niemal dokładnie to co teza dla p=7.

Być może trochę się czepiam, ale miałem rozszerzoną matematykę w liceum przez 3 lata i nigdy nie słyszałem o małym twierdzeniu Fermata. Być może program się zmienił i to twierdzenie jest w podręcznikach tak, że każdy może z niego korzystać?

Na poziomie szkolnym najpewniej robiłbym to indukcją, albo tak łopatologicznie, jak w pierwszym poście.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 mar 2013, o 20:56 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4974
Lokalizacja: Lozanna
Generalnie nikt nie broni aby na maturze korzystać z twierdzeń spoza materiału liceum. Małe twierdzenie Fermata jest elementarne, znane nawet bardziej ambitnym gimnazjalistom.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 mar 2013, o 21:18 
Administrator
Avatar użytkownika

Posty: 12708
Lokalizacja: Kraków
Masz rację, nikt nie broni. Jeśli ktoś je pozna, czemu nie. Być może pisałem tak agresywnie dlatego, że w moim liceum nie było praktycznie wcale olimpijczyków, którzy rozwiązywaliby wiele zadań korzystając z mniej lub bardziej elementarnych twierdzeń. W szczególności jak patrzę na dział kółko matematyczne albo olimpiady i czytuję co niektóre rozwiązania, to przewracam się.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 12 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 (3 zadania) Wykaż, że liczby są podzielne przez ...  Anonymous  5
 Sprawdz czy liczba jest złożona  Anonymous  6
 (4 zadania) Sprawdz podzielność liczb przez 10  Anonymous  4
 Czy podana liczba jest różnicą kwadratów 2 liczb calko  pennywise  1
 Udowodnić, że liczba jest niewymierna - zadanie 4  Anonymous  11
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl