szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 sty 2013, o 19:35 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2391
Lokalizacja: Katowice
Dana jest elipsa opisana równaniem m x^2 + \frac{1}{m} y^2 = 1 oraz parabola f(x)=m x^2 - \sqrt{m}. Dla jakiej wartości m czworokąt utworzony z punktów przecięcia tej paraboli z elipsą i dołączonym punktem (0,0) ma największe pole?

Z dedykacją dla Tetriando.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 3 sty 2013, o 20:30 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 871
Lokalizacja: Namysłów
Dla

\red m=1\ \ \ \ S_{max}=1
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 sty 2013, o 20:41 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2391
Lokalizacja: Katowice
To teraz czekamy na Tetriando, aż przedstawi pełne rozwiązanie :).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 sty 2013, o 02:09 
Użytkownik

Posty: 33
Lokalizacja: Bolesławiec
Fajne zadanie :D Tyle nad nim ślęczałem już parę godzin temu miałem wrzucić odpowiedź, gdy nagle okazało się, że na początku coś źle policzyłem przez ten czas jeszcze parę razy się tak pookazywało no ale wreszcie jest moja rozkmina :D Mam nadzieję, że wszystko jest poprawnie a przynajmniej znaczna większość :D


Na początku określamy m, dla którego zadanie ma w ogóle sens - jest to m > 0. Pomoże nam to między innymi podczas możliwych uproszczeń.

Zauważamy, że nasza elipsa ma środek zawsze w punkcie przecięcia układu współrzędnych.

Następnie można zauważyć, że elipsa przecina osie układu współrzędnych w punktach:
(-\frac{1}{\sqrt{m}},0),(\frac{1}{\sqrt{m}},0),(0,\sqrt{m}) oraz (0,-\sqrt{m}).

Bierze się to z takiej oto rozkminy:

m x^2 + \frac{1}{m} y^2 = 1

\frac{x^2}{\frac{1}{m}} + \frac{y^2}{m} = 1

Elipsa w pozycji kanonicznej:
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1

a, b - półosie elipsy

Więc
a = \frac{1}{\sqrt{m}} \\ b = \sqrt{m}


Jeden z tych punktów nam się przyda.

Najpierw jednak przyjrzyjmy się funkcji f(x) = mx^2 - \sqrt{m}

wyraz wolny c wynosi -\sqrt{m} dodatkowo brak części bx powoduje, że nasza funkcja jest symetryczna względem osi OY.

Można dzięki temu wywnioskować, że wierzchołek paraboli będzie zawsze leżał w punkcie (0,-\sqrt{m}), czyli tam, gdzie jest najniższy punkt naszej elipsy, który przecina oś OY. Pierwszy punkt znaleziony. Dodatkowo wierzchołek ten zawsze będzie najmniejszą wartością funkcji f(x) i będzie ona zawsze mniejsza niż 0. (m>0)

To jest nasz magiczny pierwiastek podwójny, który napotkamy później.

Pozostają pozostałe dwa, które będą zawsze różne od siebie oraz od pierwszego punktu, będą one również wzajemnym odbiciem symetrycznym względem osi OY, czyli ich współrzędne będą dały się opisać w sposób następujący: B = (x,y) \ C = (-x,y).



Teraz zasadnicza część rozwiązywania :D:

Wstawmy naszą funkcję f(x) do równania elipsy:

mx^2 + \frac{(mx^2 - \sqrt{m})^2}{m} = 1

mx^2 + \frac{m^2x^4 - 2m\sqrt{m}x^2 + m}{m} - 1 = 0

mx^2 + mx^4 - 2\sqrt{m}x^2 = 0

mx^4 + (m - 2\sqrt{m})x^2 = 0

\textcolor{red}{x^2} (mx^2 + m - 2\sqrt{m}) = 0

Odnaleźliśmy nasz pierwiastek podwójny. Zasadnicza część, czyli reszta punktów, znajduje się w nawiasie.

Policzmy deltę naszego wyrazu w nawiasie:

\Delta = -4m(m-2\sqrt{m}) = 4m(-m + 2\sqrt{m})

Policzmy jeszcze deltę wyrażenia w nawiasie by określić maksymalną wartość m, dla której zadanie ma sens:

\Delta_{\Delta} = -m + 2\sqrt{m} > 0

m - 2\sqrt{m} < 0

m^2 - 4m < 0

m_{1} = \frac{4-4}{2} = 0

m_{2} = \frac{4+4}{2} = 4

Zatem m \in (0,4)


Policzmy teraz pozostałe 2 pierwiastki naszego głównego równania:

x_{1} = \frac{-\sqrt{4m(2\sqrt{m}-m)}}{2m} = \frac{-2m\sqrt{\frac{2}{\sqrt{m}} - 1}}{2m} = -\sqrt{\frac{2}{\sqrt{m}} - 1}

x_{2} = \sqrt{\frac{2}{\sqrt{m}} - 1}



Zauważmy teraz, że do policzenia pola czworokąta wystarczy nam jego połowa, ponieważ czworokąt ten jest symetryczny względem osi OY. Zatem wystarczy policzyć pole prawego trójkąta i pomnożyć go przez 2.

Weźmy zatem pierwiastek x_{2}, który zawsze będzie miał większą wartość od x_{1} i będzie po prawej stronie osi OY.

Pole tego trójkąta wyliczymy ze wzoru: 1/2 podstawy * wysokość, gdzie podstawą będzie półoś b elipsy (odległość dodanego punktu (0,0) od wierzchołka funkcji f(x)) a wysokością współrzędna x naszego wierzchołka prawego trójkąta, czyli po prostu x_{2}.

Wzór na pole czworokąta:

P(m) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{m} \cdot \sqrt{\frac{2}{\sqrt{m}} - 1} = \sqrt{m} \cdot \sqrt{\frac{2}{\sqrt{m}} - 1} = \sqrt{\frac{2m}{\sqrt{m}} - m} = \sqrt{2\sqrt{m} - m}


Dla pewnego m maksimum:
P(m) = \sqrt{2\sqrt{m} - m}

to także maksimum:

g(m) = 2\sqrt{m} - m

Policzmy pochodną:

g'(m) = \frac{1}{\sqrt{m}} - 1

Poszukajmy ekstremum(maksimum):

\frac{1}{\sqrt{m}} - 1 = 0

\frac{1}{\sqrt{m}} = 1

\sqrt{m} = 1

\textcolor{red}{m = 1}

I oto znaleźliśmy nasze maksimum, które mieści się w przedziale (0,4)

Maksymalne pole czworokąta wynosi:

P(1) = \sqrt{2\sqrt{1} - 1} = \sqrt{2 - 1} = \sqrt{1} = 1

Dla naszego m = 1 elipsa staje się okręgiem, zaś czworokąt trójkątem :D

Obrazek

W innym przypadku mamy do czynienia z elipsą a czworokąt jest albo latawcem albo deltoidem :D

Obrazek

Dla m \rightarrow 0  \vee m \rightarrow 4 pole maleje do 0

Koniec zadania :D

Pozdrawiam
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 sty 2013, o 02:21 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2391
Lokalizacja: Katowice
Pięknie. I o to chodziło! :)

Chcesz jeszcze jedno tego typu zadanie?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 sty 2013, o 02:32 
Użytkownik

Posty: 33
Lokalizacja: Bolesławiec
Tak :D
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 parabola styczna do okęgu - parametr  czarny93123  3
 Optymalizacja, pole prostokąta, parabola  MystiQus  1
 elipsa, styczna  maja55555  5
 hiperbola czy parabola?  matmus  6
 Parabola i styczna - zadanie 2  jarodol  8
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl