szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 sty 2013, o 18:12 
Użytkownik

Posty: 62
Lokalizacja: Gdańsk
f(x)=3x^3-x sprawdzić czy jest iniekcją i suriekcją, gdy :
1) f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}
2) f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}

1) Iniekcja:
\exists x_1=0, x_2=\frac{1}{\sqrt{3}} \quad x_1 \not = x_2  \wedge f(x_1)=f(x_2) Nie jest iniekcją.
Suriekcja:
Tu widzę po wykresie, że jest, ale nie wiem, jak to formalnie zapisać.
\forall y \exists x \quad y=f(x) \\
y=3x^3-x \\
3x^3-x-y=0 \\
?

2)Iniekcja:
Tu widzę po wykresie, że jest iniekcją (rośnie na całym zbiorze \mathbb{N}), ale też nie potrafię tego formalnie uzasadnić.
f(x_1)=f(x_2) \Leftrightarrow 3x_1^3-3x_2^3-x_1+x_2=0 \Leftrightarrow ?

EDIT: czy dla funkcji f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} pokazanie, że \forall x \in\mathbb{N} \quad f(x+1)>f(x) wystarczy, by pokazać, że funkcja jest iniekcją?
Suriekcja:
Tu z wykresu wydaje mi się, że jest, ale też nie potrafię tego uzasadnić.

Czy mogę prosić o pomoc w rozwiązaniu tego zadania?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 sty 2013, o 20:46 
Gość Specjalny

Posty: 5477
Lokalizacja: Toruń
Surjektywność 1 można wykazać w taki sposób:
\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty oraz \lim_{x \to - \infty} f(x) = - \infty

Ponadto f jest ciągła, a zatem musi przyjmować wszystkie wartości ze zbioru liczb rzeczywistych.

-- 6 sty 2013, o 20:47 --

Alojzy Pompka napisał(a):

EDIT: czy dla funkcji f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} pokazanie, że \forall x \in\mathbb{N} \quad f(x+1)>f(x) wystarczy, by pokazać, że funkcja jest iniekcją?



Tak.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 sty 2013, o 20:52 
Użytkownik

Posty: 62
Lokalizacja: Gdańsk
Dzięki za odpowiedź, czy to, co podałeś do 1), jest regułą dla każdej funkcji ciągłej z granicami niewłaściwymi w plus/minus nieskończoności?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 sty 2013, o 20:53 
Gość Specjalny

Posty: 5477
Lokalizacja: Toruń
Tak. Wynika to z tego, że mając funkcję ciągłą i przyjmuje pewne dwie wartości, to przyjmuje również wszystkie pomiędzy.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 sty 2013, o 20:55 
Administrator

Posty: 21370
Lokalizacja: Wrocław
Tak, bo każda funkcja ciągła ma własność Darboux.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 sty 2013, o 16:04 
Użytkownik

Posty: 443
Lokalizacja: Kraków
często łatwiej jest najpierw wykazać że funkcja jest monotoniczna (ścićle)
z czego już bezpośrednio wynika że jest injekcją.

Ponadto jeśli funkcja jest monotoniczna ( injekcja) na jakimś zbiorze to jest równiez na każdym jego podzbiorze.

monotoniczność funkcji różniczkowalnej zwykle łatwiej wykazać obliczając jej pochodną.

W omawianym przypadku

f'(x) = 9 \cdot x^2-1

miejsca zerowe pochodnej

x=- \frac{1}{3}   \\
x= \frac{1}{3}

i już widać dlaczego injekcją nie jest.

Co prawda zbiór liczb naturalnych nie jest podzbiorem przedziału

\left( \frac{1}{3}; \infty \right)

ale naturalnych dodatnich już jest.

więc wystarczy sprawdzić dla 0 i 1...

f(0)= 0
f(1)= 2
i dla następnych już wiemy że
f(n+1)>f(n)

wiec dla liczb naturalnych funkcja jest injekcja ( bo jest monotoniczna).
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Kiedy potrzebne jest wyznaczanie dziedziny ?  mateo19851  4
 Funkcja zaokrąglajaca  Anonymous  3
 Surjekcja (funkcja "na")  lucky36  1
 Funkcja z parametrem...  Finarfin  2
 Jaka to funkcja?  Anonymous  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl