szukanie zaawansowane
 [ Posty: 25 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 10 sty 2013, o 19:12 
Użytkownik

Posty: 18
Lokalizacja: Łódź
Wykaż,że jeśli n \in \mathbb{N} i n \ge 1, to liczba 4 ^{n+2} - 4 ^{n} jest podzielne przez 60.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 sty 2013, o 19:16 
Użytkownik

Posty: 106
Lokalizacja: Warszawa
4 ^{n+2}-4 ^{n}=4 ^{n}(4 ^{2}-1)=15 \cdot 4 ^{n}
Jest to prawda bo 15 pomnożone przez jakąkolwiek potęgę liczby 4 (licząc lliczbę większą lub równą 1 i należącą do l. naturalnych) da liczbę podzielną przez 60.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 10 sty 2013, o 19:21 
Użytkownik

Posty: 18
Lokalizacja: Łódź
Dziękuję :) jest to dział którego nie mogę zrozumieć :)

a,gdy mamy 3 ^{n} + 3 ^{n+3} + 2 ^{n+2} to jak to zrobić,żeby udowodnić jej podzielność przez 4 ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 sty 2013, o 19:26 
Użytkownik

Posty: 106
Lokalizacja: Warszawa
3 ^{n} + 3 ^{n+3} + 2 ^{n+2}=3 ^{n}+27 \cdot 3 ^{n}+4 \cdot 2 ^{n}=3 ^{n}(1+27)+4 \cdot 2 ^{n}=28 \cdot 3 ^{n}+4 \cdot 2 ^{n}=4\left(7 \cdot 3 ^{n}+2 ^{n}   \right)
Rozumiesz? :)
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 10 sty 2013, o 19:42 
Użytkownik

Posty: 18
Lokalizacja: Łódź
hmmmm próbuję,ale mi nie wychodzi.

Tak dla sprawdzenia zrobiłam sobie kolejne,ale chyba jest źle. Tak mi się wydaje.

7 ^{n+2} -2 ^{n+2} +7 ^{n} -2 ^{n} jest podzielna przez 10.

Zrobiłam to podobnie do tego poprzedniego:

7 ^{n}  \cdot 49 - 2 ^{n}  \cdot 4 + 7 ^{n} - 2 ^{n}  =
7 ^{n} \left( 49+1\right) - 2 ^{n} \left( 4+1\right)  =
7 ^{n}  \cdot 50-2 ^{n}  \cdot 5 =\\=
 5\left( 7 ^{n}  \cdot 10-2 ^{n}  \cdot 1\right)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 sty 2013, o 19:49 
Użytkownik

Posty: 106
Lokalizacja: Warszawa
Dobrze, teraz wystarczy zobaczyć, ze 2 ^{n}=2 \cdot 2 ^{n-1}, a później wyłączyć jeszcze 2 przed nawias.
w wykazaniach podzielności czasem jest dużo kombinowania :)
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 10 sty 2013, o 20:01 
Użytkownik

Posty: 18
Lokalizacja: Łódź
a skąd wzięło się 2 ^{n} = 2  \cdot 2 ^{n-1} ?

Czyli powinno wyjść 10\left( 7 ^{n}  \cdot 10-1\right) ? :)
chyba coś źle zrobiłam....

a jeśli mam zadanie,gdzie mam obliczyć [ bez kalkulatora ]

198 ^{3} + 102 ^{3} i wykazać,że jest podzielna przez 300 ?

chyba będę miała trudno to zrozumieć :(

byłabym Ci bardzo wdzięczna, gdybyś mi pomógł dalej :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 sty 2013, o 20:12 
Użytkownik

Posty: 106
Lokalizacja: Warszawa
No bo skoro 2 ^{n+2}=4 \cdot 2 ^{n}, to tak samo robimy tutaj:
2 ^{n}=2 \cdot 2 ^{n-1}=2 ^{n-1+1}
czyli to co miałaś wcześniej - co rozwiązalas - 5(7^n \cdot 10-2^n \cdot 1)=5(10 \cdot 7^n-2 ^{n-1} \cdot 2 \cdot 1)=5 \cdot 2(7 ^{n} \cdot 5-2 ^{n-1}) Widzisz to?
A w tym ostatnim to jest wzór skróconego mnożenia - możesz to rozpisać za pomocą a ^{3}
+b ^{3} - spróbuj sama to zrobić i napisz co ci wyszło.

Edit - poprawiłem zapis:)
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 10 sty 2013, o 20:25 
Użytkownik

Posty: 18
Lokalizacja: Łódź
198 ^{3} + 102 ^{3} = \left( 198+102\right)\left( 198^{2} - 198 \cdot 102 + 102^{2}\right) =
300\left( 198^{2} - 198 \cdot 102 + 102^{2}\right)


Dobrze ? :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 sty 2013, o 20:27 
Użytkownik

Posty: 106
Lokalizacja: Warszawa
No pewnie ;)
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 10 sty 2013, o 20:33 
Użytkownik

Posty: 18
Lokalizacja: Łódź
teraz jest trochę trudniejsze, bo już kolejne dwa podobne zrobiłam do poprzedniego,ale tego nie wiem za bardzo jak zrobić ;/

11 ^{12} - 7 ^{12} / 17

próbowałam rozłożyć do wzoru skróconego mnożenia tylko nie wiem czy to na pewno będzie dobre rozwiązanie tego
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 sty 2013, o 20:43 
Użytkownik

Posty: 106
Lokalizacja: Warszawa
11^{12}-7^{12}=(11^6+7^6)(11^6-7^6)=(11^6+7^6)(11^3-7^3)(11^3-7^3)
Dwa ostatnie nawiasy nie dzielą się przez siedemnaście, dlatego jeśli do prawda, to 11^6+7^6 jest podzielne przez 17.
11^6+7^6=(11^2+7^2)x
tutaj mamy wzór skróconego mnożenia jak w poprzednim zadaniu, tylko że a to 11^2 a b to 7^2.
te x to reszta tamtego wzoru, ale widac ze te pierwszy nawias dzieli sie przez 17.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 10 sty 2013, o 20:55 
Użytkownik

Posty: 18
Lokalizacja: Łódź
rzeczywiście wyszło. Tylko nie wiem skąd jest założenie,że 2 ostatnie nawiasy nie dzielą się przez 17. Nie umiem tego dostrzec.

Czy to trzeba dodać jakieś założenia ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 sty 2013, o 20:58 
Użytkownik

Posty: 106
Lokalizacja: Warszawa
Mnie nauczycielka nauczyła liczenia w słupku :D
Tak jest szybciej niż udowadnianie. Przeważnie już kilka takich zadan zrobiłem i potęgi trzeciego i drugiego stopnia najszybciej liczyć w słupku lub na kalkulatorze
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 10 sty 2013, o 21:01 
Użytkownik

Posty: 18
Lokalizacja: Łódź
niektóre liczby to od razu możne zapamiętać ;)

a tą samą metodą można wykonać też to

17 ^{18} - 16^{18} ? / 11
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 25 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 dowodzenie twierdzeń - zadanie 15  abyss96  10
 Dowodzenie twierdzeń - zadanie 23  kornik1  20
 dowodzenie twierdzeń - zadanie 10  dj600vo  7
 Dowodzenie twierdzeń - zadanie 24  kornik1  3
 Dowodzenie twierdzeń - zadanie 21  kornik1  6
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl