szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 11 sty 2013, o 21:24 
Użytkownik

Posty: 61
Witam,
mam pytanie: czy istnieje funkcja rzeczywista
-nieciągła w zbiorze liczb niewymiernych?
-nieciągła w więcej niż przeliczalnej ilości punktów, ale nie wszędzie?
i może jakiś przykład?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 sty 2013, o 21:28 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4544
Lokalizacja: Wrocław
a) funkcja Dirichleta jest wszędzie nieciągła, więc w szczególności dla niewymiernych
b) funkcja równa funkcji Dirichleta na pewnym przedziale i stała poza nim (będzie nieciągła tylko na tym przedziale)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 sty 2013, o 21:30 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17949
Lokalizacja: Cieszyn
b) Funkcja f(x)=x dla x wymiernych oraz f(x)=0 dla x niewymiernych jest ciągła tylko w zerze.

a) Funkcja Dirichleta. Nieciągła w żadnym punkcie. Ale pewnie chodzi Ci o funkcję nieciągłą w zbiorze liczb niewymiernych a ciągłą w zbiorze liczb wymiernych. W chwili obecnej nie wiem. Chodzi mi po głowie funkcja Riemanna, ale muszę sobie o niej przypomnieć.

Funkcja Riemanna nie pasuje. Jest ciągła w punktach niewymiernych.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 12 sty 2013, o 17:48 
Użytkownik

Posty: 61
mam jeszcze pytanie do dowodu:
mam pokazać, że dana funkcja f(x)=\begin{cases} \frac{1}{q} &\text{dla } x=\frac{p}{q}, \ p, \ q  \in \ZZ , (p,q)=1\\0 &\text{dla } x  \in \RR  \setminus \QQ \end{cases}
chcę pok, że ta funkcja jest ciągła w każdym punkcie niewymiernym.
Dowód myślę przeprowadzić nast:
Ustalmy dowolnie \varepsilon>0 oraz wybierzmy N \in \mathbb{N} takie, że N>\frac{1}{\varepsilon}, c-liczba niewymierna, \delta=1, to w przedziale \left[ c-\delta, c+\delta\right]=\left[ c-1,c+1\right] znajdzie się skończona ilość q_{1},...,q_{n} \in \mathbb{Q} gdzie q
_{i}=\frac{a_{i}}{b_{i}}, \ (a_{i},b_{i})=1 dla i=1,2,...,n.
Niech teraz \delta=\min \left\{ 1,\left| c-q_{1}\right|,...,\left| c-q{n}\right|\right\}
Następnie rozważa się przypadki dla x - wymiernych i x - niewymiernych.
Nie rozumiem w jaki sposób zostało dobrane N oraz \delta ? oraz dlaczego b_{i} \le N ?

-- 15 sty 2013, o 10:43 --

teraz mam kolejną wątpliwość co do tego dowodu...a dokładniej:
Rozpatruje dwa przypadki:
1. jeżeli x - niewymierne (tu rozumiem wszystko)
2. jeżeli x - wymierne, to:
\left| f(x)-f(c)\right|=\left| f(x)-0\right|=\left| f(x)\right|= (\text{ze wzoru naszej f})\left| \frac{1}{q}  \right| \le  \frac{1}{N}<\epsilon
I pytanie: skąd wiemy, że \left| \frac{1}{q}  \right| \le  \frac{1}{N} ? z czego to wynika?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Funkcja nieciągła  kor  1
 Funkcja nieciagła - zadanie 2  martasz91  4
 Funkcja zaokrąglajaca  Anonymous  3
 Surjekcja (funkcja "na")  lucky36  1
 Funkcja z parametrem...  Finarfin  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl