szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 sty 2013, o 22:06 
Użytkownik

Posty: 19
Lokalizacja: Gliwice
Witam, mógłby mi ktoś z Was wytłumaczyć, jak krok po kroku przeprowadzić dowód indukcyjny, na takim przykładzie?

\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}=\frac{n}{n+1}
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 sty 2013, o 22:57 
Gość Specjalny

Posty: 2952
Lokalizacja: Wrocław
Pokażemy, że z tego, że wzór ten zachodzi dla pewnej liczby n wynika, że zachodzi dla nastepnej. Niech zatem zachodzi dla pewnej liczby n \in \mathbb{N}. Wtedy
\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k(k+1)}= \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{n}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{n^2+2n+1}{(n+1)(n+2)}=\frac{n+1}{n+2}
Proces "wynikań" zapoczątkowuje n=1:
\sum_{k=1}^1 \frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{2}.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 12 sty 2013, o 23:10 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 396
Lokalizacja: Poznan
franek321 napisał(a):

\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}=\frac{n}{n+1}


\frac{n}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}
tak jak pisze tometomek91 musisz sobie "ustawić" proces wynikań
ten proces wynikań ma trzy główne punkty, o których musisz pamiętać czyli: sprawdzenie dla n=1 dalej przedstawienie założenia i przedstawienie i weryfikacja tezy.
1) dla n=1 mamy

\sum_{k=1}^{1}\frac{1}{1(1+1)}=1-\frac{1}{1+1} czyli L=P

2)założenie
\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}=1-\frac{1}{n+1}

teza
\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k(k+1)}=1-\frac{1}{n+2}

\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k(k+1)}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}=1-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}=1-(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}=1-(\frac{n+2-1}{(n+1)(n+2)}=1-\frac{n+1}{(n+1)(n+2)}=1-\frac{1}{n+2}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 indukcja ciągu Fibonacciego  breedovsky  3
 Wykaz prawdziwosc (indukcja matematyczna)  krzysiek12345  7
 Indukcja matematyczna- liczby całkowite  mwrooo  2
 Indukcja matematyczna - udowodnić nierówność.  Glo  1
 Indukcja - Kłaczkow 5.2b  veS  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl