szukanie zaawansowane
 [ Posty: 21 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 15 sty 2013, o 15:13 
Użytkownik

Posty: 11
Lokalizacja: Lublin
1) Wykaż równoliczność zbiorów A=(0,1) i B=(1,3)-\{2\}
2) Udowodnij równoliczność A=(- \infty ,1] i B=(1,2] \cup \{0,3\}

Wiem, że by wykazać równoliczność zbiorów należy znaleźć odpowiednią bijekcję, czyli taką funkcję która by przekształcała A na B i byłaby różnowartościowa. I właśnie...nie mam pojęcia, jak zabrać się za znalezienie takiej funkcji w tych przypadkach..help :<
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 sty 2013, o 15:20 
Administrator

Posty: 21668
Lokalizacja: Wrocław
A musisz przy pomocy bijekcji? Nie możesz z tw. Cantora-Bernsteina?

JK
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 15 sty 2013, o 15:43 
Użytkownik

Posty: 11
Lokalizacja: Lublin
Dokształciłam się i jeśli dobrze zrozumiałam, według tw. Cantora-Bernsteina dwa zbiory są równoliczne, jeśli posiadają równoliczne podzbiory...czyli przykładowo w tym drugim zadaniu byłoby, że:
A\sim B ponieważ A zawiera jednoelementowy podzbiór zbioru B wynoszący \left\{ 0\right\} i na odwrót?
A jeśli tak, to jak na podstawie tego twierdzenia udowodnić pierwsze zadanie?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 sty 2013, o 16:19 
Administrator

Posty: 21668
Lokalizacja: Wrocław
amellia4 napisał(a):
Dokształciłam się i jeśli dobrze zrozumiałam, według tw. Cantora-Bernsteina dwa zbiory są równoliczne, jeśli posiadają równoliczne podzbiory...czyli przykładowo w tym drugim zadaniu byłoby, że:
A\sim B ponieważ A zawiera jednoelementowy podzbiór zbioru B wynoszący \left\{ 0\right\} i na odwrót?

Nie. Zbiory są równoliczne, jeśli każdy z nich jest równoliczny z podzbiorem drugiego. Wystarczy zatem np. wskazać dwie injekcje f:A \rightarrow B i g:B \rightarrow A.

JK
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 15 sty 2013, o 16:28 
Użytkownik

Posty: 11
Lokalizacja: Lublin
Czyli należy znaleźć funkcje różnowartościowe przeprowadzające A w B i na odwrót...ale jak właśnie wyznaczyć te funkcje? Bo kompletnie tego nie dostrzegam, bo jak wspominałam wcześniej mam z tym właśnie problem. Bo na chwilę obecną wychodzi na to, że nie potrzeba poszukiwać bijekcji, lecz injekcji...co nie zmienia faktu, że dalej należy znaleźć odpowiednią funkcję, czego nie umiem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 sty 2013, o 16:31 
Administrator

Posty: 21668
Lokalizacja: Wrocław
Tu wystarczą funkcje liniowe. Np. w 1) f:A \rightarrow B, f(x)=x+1 i g:B \rightarrow A, g(x)=\frac13 x.

JK
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 15 sty 2013, o 16:36 
Użytkownik

Posty: 11
Lokalizacja: Lublin
Dlaczego akurat takie?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 sty 2013, o 20:40 
Administrator

Posty: 21668
Lokalizacja: Wrocław
A dlaczego nie?

JK
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 15 sty 2013, o 23:01 
Użytkownik

Posty: 11
Lokalizacja: Lublin
Pojęcia nie mam : D
Ale chodzi mi o to bardziej, czy to jedyne takie rozwiązanie i czy, nie można by było użyć innych funkcji, przykładowo f:A \rightarrow B, f(x)=2x, zaś g:B \rightarrow A, g(x)=\frac14 x?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 sty 2013, o 23:11 
Administrator

Posty: 21668
Lokalizacja: Wrocław
Oczywiście, że nie jedyne. Takich funkcji jest mnóstwo. Ale Twój przykład jest tylko częściowo dobry, bo tylko funkcja g jest dobra. Funkcja f jest zła, przecież ona przekształca (0,1) na (0,2), a (0,2)\not  \subseteq (1,3) \setminus \{2\}.

JK
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 15 sty 2013, o 23:32 
Użytkownik

Posty: 11
Lokalizacja: Lublin
Hm. Rozumiem, czyli ten drugi przykład można rozwiązać tak, że
A=(- \infty ,1] i B=(1,2] \cup \{0,3\} są równoliczne, ponieważ istnieją takie dwie inekcje przeprowadzające kolejno jeden zbiór w podzbiór drugiego zbioru:
f:A \rightarrow B, f(x)= -\frac1x +1 oraz g:B \rightarrow A, g(x)=-x?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 sty 2013, o 23:36 
Administrator

Posty: 21668
Lokalizacja: Wrocław
Funkcja f jest zła, przecież w dziedzinie jest zero. Funkcja g jest OK.

JK
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 15 sty 2013, o 23:40 
Użytkownik

Posty: 11
Lokalizacja: Lublin
Hmm..Ale to zbiór A jest przeprowadzany w podzbiór B. To nie wystarczy?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 sty 2013, o 23:46 
Administrator

Posty: 21668
Lokalizacja: Wrocław
Ale przecież napisałaś, że dziedziną funkcji f jest zbiór (-\infty,1]. Ile wynosi zatem f(0) ?

JK
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 15 sty 2013, o 23:48 
Użytkownik

Posty: 11
Lokalizacja: Lublin
Ach, tak, już zauważyłam to i chylę czoła. Właśnie chciałam edytować swojego posta.
Zauważyłam i stwierdziłam, że dodanie do mianownika 1 rozwiąże sprawę.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 21 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Równoliczność zbiorów - zadanie 62  Sachato  2
 Równoliczność zbiorów - zadanie 45  peterek  1
 Równoliczność zbiorów - zadanie 21  nietopereek  2
 Równoliczność zbiorów - zadanie 75  Krodinor  28
 równoliczność zbiorów - zadanie 66  paradox  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl