szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 20 sty 2013, o 20:56 
Użytkownik

Posty: 184
Lokalizacja: Warszawa
Mam problem z zadaniem:

Na elipsie o równaniu x^{2}+2z ^{2}= 1 znaleźć punkty położone najdalej od prostej o równaniu x+y=4
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 sty 2013, o 21:53 
Użytkownik

Posty: 2750
Lokalizacja: podkarpacie
W równaniu elipsy powinno być chyba x^2+2y^2=1.
Wybieramy punkt z elipsy P=(x,y), jego współrzędne spełniają oczywiście równanie elipsy, a zatem
x^2+2y^2=1
x^2=1-2y^2
x=\pm\sqrt{1-2y^2},\ y\in\left[-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right].
A zatem punkt będzie miał współrzędne P=(\pm\sqrt{1-2y^2},y).
Równanie prostej piszemy w postaci ogólnej x+y-4=0.
Obliczamy odległość punktu P od prostej
d=\frac{|\pm\sqrt{1-2y^2}+y-4|}{\sqrt{1+1}}=\frac{|\pm\sqrt{1-2y^2}+y-4|}{\sqrt{2}}
Jak widać ta odległość jest funkcją zależną od y, należy znaleźć jej ekstrema.
Z łatwością można zauważyć, że wyrażenie pod wartością bezwzględna jest dla y\in\left[-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right] stale ujemne, zatem wartość bezwzględna przyjmie wartość największą, gdy wyrażenie pod wartością bezwzględną będzie najmniejsze.
Rozważamy funkcję
d(y)=\pm\sqrt{1-2y^2}+y-4
d'(y)=\pm\frac{1}{2\sqrt{1-2y^2}}\cdot(-4y)+1
Gdy przed pierwiastkiem weźmiemy znak minus, to pochodna będzie stale dodatnia i ekstremów brak.
Rozwiązujemy zatem równanie
\frac{1}{2\sqrt{1-2y^2}}\cdot(-4y)+1=0
\frac{-2y}{\sqrt{1-2y^2}}=-1
2y=\sqrt{1-2y^2}
4y^2=1-2y^2
6y^2=1
y^2=\frac16
y=-\frac{\sqrt{6}}{6}\vee y=\frac{\sqrt{6}}{6}
Badając znaki pochodnej otrzymamy, że chodzi tu o y=-\frac{\sqrt{6}}{6}.
Dla tej wartości y otrzymujemy
\pm\sqrt{1-2y^2}=\pm\sqrt{1-2\cdot\frac16}=\pm\sqrt{\frac23}}
Mamy zatem dwa możliwe punkty
P_1=\left(\sqrt{\frac23}},-\frac{\sqrt{6}}{6}\right),\ P_2=\left(-\sqrt{\frac23}},-\frac{\sqrt{6}}{6}\right)
Obliczamy odległość d dla obu tych punktów pokazuje, że większa jest odległość dla punktu P_2.
Rysunek może tu pomóc:
Obrazek

Można było inaczej: wybrać punkt na danej prostej, napisać równanie prostopadłej do danej, znaleźć punkty przecięcia się tej prostopadłej z elipsą, policzyć odległość między tymi punktami przecięcia a punktem na prostej i wtedy szukać ekstremum.
Na jedno wyjdzie.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wyznaczyć postać kierunkową prostej  nuts  2
 Równanie prostej - zadanie 74  --no--  1
 Równanie płaszczyzny, równanie prostej w przestrzeni  rucio  1
 geometria, wyznacz rownanie prostej  kejkun7  3
 Równanie prostej. - zadanie 5  Natalieee  2
cron
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl