szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 24 sty 2013, o 09:37 
Użytkownik

Posty: 558
Niech
f _{2n} \left( x \right) = \begin{cases} 0 ,\mbox{ dla }x \in \left[ 0,   \frac{1}{2} \right]  \\ 1 , \mbox{ dla } x \in \left[  \frac{1}{2} , 1 \right] \end{cases} dla parzystych
oraz
f _{2n+1} \left( x \right) = \begin{cases} 1 ,\mbox{ dla }x \in \left[ 0,   \frac{1}{2} \right]  \\ 0 , \mbox{ dla } x \in \left[ \frac{1}{2} , 1 \right] \end{cases} dla nieparzystych

Obliczyć
\int_{R} \liminf_{ n \to  \infty }f_ndl_1
oraz
\liminf_{ n \to  \infty } \int_{R} f_ndl_1

Rozwiązanie

zastanówmy się jak wygląda nasze f_n
ustalmy x \in \left[ 0,1 \right]
\left( f_n \left( x \right) \right)  _{ n \in N } = \begin{cases} \left(  1, 0, 1, 0, ... \right) \mbox{ dla } x \in  \left[ 0,   \frac{1}{2} \right] \\ \left(   0, 1, 0, 1  ... \right) \mbox{ dla } x \in  \left[   \frac{1}{2} , 1 \right]  \end{cases}

a więc największym ograniczeniem dolnym jest 0, czyli \liminf _{ n \to  \infty  } f_n  =0
Zatem
\int_{ \left[ 0,1  \right] } \liminf _{ n \to  \infty  } f_n dl_1 =  \int_{ \left[ 0,1  \right] } 0 dl_1 = 0 \cdot 1=0

\int_{ \left[ 0,1  \right] } f_n dl_1 =  \int_{ \left[ 0,  \frac{1}{2} \right ] }f_n dl_1 + \int_{ \left[  \frac{1}{2} ,1 \right] } f_n dl_1 
= \begin{cases} 0 \cdot  \frac{1}{2} + 1 \cdot  \frac{1}{2}  \mbox{ dla } n=2n \\ 1 \cdot  \frac{1}{2} + 0 \cdot  \frac{1}{2}  \mbox{ dla } n=2n+1 \end{cases} 
= \frac{1}{2}

\liminf_{ n \to  \infty } \int_{ \left[ 0,1 \right] } f_ndl_1 = \liminf_{ n \to  \infty } \frac{1}{2} =  \frac{1}{2}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 sty 2013, o 10:43 
Administrator
Avatar użytkownika

Posty: 12708
Lokalizacja: Kraków
Jeśli pytanie jest o poprawność obliczeń, to wszystko się zgadza.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Badanie przebiegu i granica przy asymptocie ukośnej  Sebastian R.  1
 Granica ciągu - zadanie 185  Guliver  2
 zbadaj ciągłość i narysuj wykres funkcji ( z granicą ciągu)  zuababa  0
 Analiza funkcji pochodne dziedzina, wykres,granica itp.  Goter  2
 Ile wynosi ta granica  Geniusz  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl