szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 sty 2013, o 11:20 
Użytkownik

Posty: 98
Lokalizacja: Kruszwica
Olimpiada "O diamentowy Indeks AGH" 2007/8 - III etap
(m-2)9^x+(m+1)3^x-m=0
Dla jakich wartości parametru m dokładnie 1 pierwiastek równania jest mniejszy od 2?

Robiłem to tak:
Niech t=3^x
Zatem:
(m-2)t^2+(m+1)t-m=0
Warunek 1:
a=0 \Leftrightarrow m=2  \Rightarrow 3^{x+1}=2 \Rightarrow x=log _32-1<2
Warunek 2:
\Delta=0 \Leftrightarrow m \in \left\{  \frac{1}{5},1 \right\}\\ m= \frac{1}{5} \Rightarrow -9t^2+6t-1=0  \Rightarrow t= \frac{1}{3} \Leftrightarrow x<2\\ m=1 \Rightarrow -t^2+2t-1=-(t-1)^2=0 \Leftrightarrow t=1 \Leftrightarrow x<2
Warunek 3:
\Delta<0 \Leftrightarrow m \in ( \frac{1}{5},1 )

Pozostaje warunek 4, nie wiem jak rozwiązać:
\Delta>0
Zauważyłem, że:
x<2 \Rightarrow t \in (0,9)
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 sty 2013, o 13:33 
Moderator

Posty: 3012
Lokalizacja: Starachowice
Aby dokładnie jeden pierwiastek był mniejszy od 2, to w ramach warunku \Delta>0 trzeba rozważyć jeszcze takie dwa przypadki: dla a>0 i a<0: (dla funkcji kwadratowej z t oczywiście):

\begin{cases} a>0 \\ f(9) \le 0 \\ \Delta>0 \\ t_1+t_2>0 \\ t_1t_2>0 \end{cases} \ \ \ \  \mbox{lub} \ \ \ \ \  \begin{cases} a<0 \\ f(9) \ge 0 \\ \Delta>0 \\ t_1+t_2>0 \\ t_1t_2>0 \end{cases}

Ostatnie dwa warunki w każdym z przypadków wykluczają pojawienie się ujemnych t.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 sty 2013, o 15:00 
Użytkownik

Posty: 98
Lokalizacja: Kruszwica
Wzory Viete'a też miałem ale zabrakło f(9). Dzięki
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 funkcja z parametrem - zadanie 10  ironicx  3
 Funkcja z parametrem - zadanie 25  JustaK  6
 Funkcja z parametrem - zadanie 51  Rajwelka  6
 funkcja z parametrem - zadanie 79  help-eu  1
 Funkcja z parametrem  igla  1
cron
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl