szukanie zaawansowane
 [ Posty: 9 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 sty 2013, o 22:48 
Użytkownik

Posty: 251
Lokalizacja: Great Plains
1.Pokazać, że w każdym trójkącie ABC istnieje taki punkt wewnętrzny O, że każda prosta k (leżąca w płaszczyźnie ABC) przechodząca przez ten punkt, dzieli ten trójkąt na takie dwie figury F,f, że \frac{P_F}{P_f}=\frac{O_F-k \cap ABC}{O_f-k \cap ABC}, gdzie P_F,P_f to odpowiednio pola figur F i f; O_F,O_f to odpowiednio obwody figur F,f, natomiast k \cap ABC to oczywiście część wspólna prostej k i trójkąta ABC (odpowiedni odcinek).

Tutaj zależy mi żeby było na poziomie do przyjęcia w liceum (bez całek, pochodnych funkcji dwóch zmiennych itp.).

2.Czy taki punkt O jest jedyny?

Tutaj może być szerszy zakres niż z liceum (sam jestem tego ciekaw, to już nie zalicza się do zadania z liceum).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 sty 2013, o 00:41 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 2226
Lokalizacja: Warszawa
Udowodnienie, że taki punkt istnieje co najwyżej jeden jest znacznie prostsze od dowodu jego istnienia i jest też wskazówką do pełnego dowodu - zauważ, że w szczególności proste k przechodzą przez wierzchołki trójkąta.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 sty 2013, o 01:04 
Użytkownik

Posty: 251
Lokalizacja: Great Plains
Ok - istnienie mam, ale tej jedyności nadal nie widzę. Mógłbyś rozwinąć jak ją pokazać?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 sty 2013, o 01:54 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 2226
Lokalizacja: Warszawa
Rozważ prostą k przechodzącą przez ów punkt i przez wierzchołek trójkąta. Dzieli nam ona trójkąt na dwa trójkąty. Rozważ ich wspólną wysokość i zapisz proporcję z treści zadania.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 sty 2013, o 02:34 
Użytkownik

Posty: 251
Lokalizacja: Great Plains
O tej porze to mogę blefować więc zapytam wprost - tym jedynym punktem jest punkt przecięcia dwusiecznych tego trójkąta, a jedyność z twierdzenia o dwusiecznej idzie?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 sty 2013, o 02:35 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 2226
Lokalizacja: Warszawa
Tak, zgadza się. Środek okręgu wpisanego.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 sty 2013, o 02:37 
Użytkownik

Posty: 251
Lokalizacja: Great Plains
dzięki - w sumie to mogłem od razu szukać kandydata (tym bardziej, że nie znam zbyt wiele punktów przecięcia dla trzech odcinków, wychodzących z wierzchołków trójkąta :D ).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 sty 2013, o 02:47 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 2226
Lokalizacja: Warszawa
Myk jest taki:
jak zapiszesz tą proporcję tak jak mówiłem, to jest:
\frac{c+x}{b+y}=\frac{\frac{xh}{2}}{\frac{yh}{2}}
gdzie x i y to odcinki na jakie prosta k podzieliła odcinek a. Stąd równoważnie mamy:
\frac{c}{b}=\frac{x}{y}
a tu już z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia o dwusiecznej mamy, że ów punkt leży na dwusiecznej. Analogicznie ten punkt leży na wszystkich trzech dwusiecznych, czyli na ich jednym jedynym punkcie przecięcia.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 sty 2013, o 02:56 
Użytkownik

Posty: 251
Lokalizacja: Great Plains
No właśnie tego mi brakowało na początku (w sumie to nie mieliśmy twierdzenia odwrotnego na lekcjach, a nie pofatygowałem się sprawdzić w necie czy jest takowe, do tej pory nie było mi potrzebne). Dzięki raz jeszcze.

PS: Tam miało być odwrotnego do dwusiecznej oczywiście*
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 9 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wysokosc i pole trojkata  maniek099  1
 Boki trójkata  maniek099  7
 Kąty trójkąta równoramiennego.  misiu350  1
 Najkrótsza wysokość trójkąta różnobocznego  MatWojak  1
 Bok trójkąta równobocznego ma długość 6 cm.Oblicz ...  Steel1993  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl