szukanie zaawansowane
 [ Posty: 12 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 sty 2013, o 04:12 
Użytkownik

Posty: 251
Lokalizacja: Great Plains
W poprzednim temacie pokpiłem sprawę z tymi oznaczeniami - myślałem, że to uprości sformułowanie, a to oczywisty blef. :oops:

Zamieszczam oryginalne sformułowanie, oto treść:

Wyznaczyć wszystkie pary nieprzystających trójkątów mających trzy kąty (wewnętrzne) i dwa boki odpowiednio równe (tzn. wszystkie kąty wewnętrzne (ich miary) występujące w jednym trójkącie występują też w drugim oraz dokładnie dwa boki w obu trójkątach mają odpowiadające sobie długości).

Przykład pozwalający zrozumieć treść:

jeden trójkąt 1,\frac{3}{4},\frac{9}{16}
drugi trójkąt \frac{3}{4},\frac{9}{16},\frac{27}{64}

Te trójkąty nie są przystające, mają dwa boki odpowiednio równe oraz spełniają warunek z kątami - miary kątów jednego trójkąta są miarami kątów drugiego trójkąta.

Mam nadzieję, że teraz już wszystko ok no i przepraszam za kłopot.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 26 sty 2013, o 15:43 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 871
Lokalizacja: Namysłów
Ilość takich par \blue =\infty
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 sty 2013, o 15:46 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 2226
Lokalizacja: Warszawa
Takich par jest nieskończenie wiele - podaną przez Ciebie parę możesz przeskalować jak Ci się tylko podoba generując pary spełniające warunki zadania.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 sty 2013, o 15:50 
Użytkownik

Posty: 251
Lokalizacja: Great Plains
No tak, ich jest nieskończenie wiele - w takim razie trzeba podać warunek konieczny i dostateczny na to aby para trójkątów spełniała warunki zadania.

-- 26 sty 2013, o 16:10 --

Zapewne chodzi o to aby podać "przepis" na łatwe znajdowanie wszystkich takich par (tak jak np. przepis na znajdowanie wszystkich trójek pitagorejskich http://pl.wikipedia.org/wiki/Tr%C3%B3jki_pitagorejskie).
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 26 sty 2013, o 16:40 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 871
Lokalizacja: Namysłów
Warunek konieczny do tworzenia nieskończonej ilości takich par

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \blue \ \fbox{\alpha<\beta<\gamma\ \ \wedge\ \ \sin^2\beta=\sin\alpha\cdot\sin\gamma}

kolejny trójkąt powstaje w ten sposób, że dwa większe boki tworzą kąt \blue \gamma
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 sty 2013, o 19:38 
Użytkownik

Posty: 251
Lokalizacja: Great Plains
bb314 napisał(a):
Warunek konieczny do tworzenia nieskończonej ilości takich par

`\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \blue \ \fbox{\alpha<\beta<\gamma\ \ \wedge\ \ \sin^2\beta=\sin\alpha\cdot\sin\gamma}

kolejny trójkąt powstaje w ten sposób, że dwa większe boki tworzą kąt \blue \gamma


Nie wiem czy rozumiem to sformułowanie (pogrubiony fragment) - warunkiem koniecznym byłoby takie coś, że wśród wszystkich par trójkątów spełniających ten warunek, byłyby wszystkie pary spełniające warunki zadania. O to Ci chodzi?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 26 sty 2013, o 23:39 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 871
Lokalizacja: Namysłów
Założenia \alpha<\beta<\gamma

Przyjmujemy jakąś wartość kąta \beta
z wykresu odczytujemy kąt \alpha
obliczamy \gamma=\pi-(\alpha+\beta)
przyjmujemy jakąś wartość R promienia okręgu opisanego
z tw. sinusów wyliczamy boki a,\ b,\ c i mamy trójkąt wyjściowy

kreślimy kąt \gamma,
na jednym jego ramieniu zaznaczamy punkt odległy o b od wierzchołka
na drugim ramieniu zaznaczamy punkt odległy o c od wierzchołka
łączymy te punkty i mamy pierwszy trójkąt spełniający warunki zadania, czyli mający takie same trzy kąty i dwa boki, ale nieprzystający do trójkąta wyjściowego

w podobny sposób tworzymy z niego kolejny trójkąt itd.


ponieważ kąt \beta może przyjmować dowolną wartość z przedziału \left( 0,\frac{\pi}{3}\right)
i dowolnie możemy przyjąć wartość R, więc tworzy się nieskończona ilość rodzin trójkątów


Ukryta treść:    
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 sty 2013, o 00:35 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 2226
Lokalizacja: Warszawa
Niech długości boków pierwszego trójkąta to a, \ b, \ c, zaś drugiego to d, \ e, \ f. Bez straty ogólności przyjmijmy, że a \le b \le c oraz d \le e \le f. Ponieważ trójkąty są podobne istnieje taka liczba rzeczywista k >0, że: d=ka, e=kb, oraz f=kc. Na mocy założeń mamy k \neq 1 - bo trójkąty nie mogą być przystające. Rozważmy trzy przypadki:
  1. d, e  \in \left\{a, \ b, \ c \right\}  \wedge f \notin \left\{a, \ b, \ c \right\}
    Rozważmy kolejne trzy przypadki:
    1. d=a
      Ale tu mamy sprzeczność z warunkiem k \neq 1.
    2. d=b
      Tu mamy dwa przypadki:
      1. e=a
        Wówczas: a \le b =d \le e =a
        A zatem: a=b=d=e
        Czyli: a=d
        A to daje sprzeczność z warunkiem k \neq 1.
      2. e=c
        d=ka=b  \Rightarrow k =\frac{b}{a}  \Rightarrow a \neq b
        e=kb=\frac{b^{2}}{a}=c  \Rightarrow b^{2}=ac
        f=kc=\frac{bc}{a} \neq a  \Rightarrow a \neq c  \wedge b \neq c \wedge a \neq b
        Co w konsekwencji daje nam, że długości boków są wyrazami ciągu geometrycznego o ilorazie różnym od jedności.
    3. d=c
      Tu mamy dwa przypadki:
      1. e=a
        Wówczas: a \le b \le c = d \le e =a
        A zatem: a=b=c=d=e
        Czyli: a=d
        A to daje sprzeczność z warunkiem k \neq 1.
      2. e=b
        Ale tu mamy sprzeczność z warunkiem k \neq 1.
  2. d, f  \in \left\{a, \ b, \ c \right\}  \wedge e \notin \left\{a, \ b, \ c \right\}
    Rozważmy kolejne trzy przypadki:
    1. d=a
      Ale tu mamy sprzeczność z warunkiem k \neq 1.
    2. d=b
      Tu mamy dwa przypadki:
      1. f=a
        Wówczas: a \le b =d \le e \le f =a
        A zatem: a=b=d=e=f
        Czyli: a=d
        A to daje sprzeczność z warunkiem k \neq 1.
      2. f=c
        Ale tu mamy sprzeczność z warunkiem k \neq 1.
    3. d=c
      Tu mamy dwa przypadki:
      1. f=a
        Wówczas: a \le b \le c = d \le e \le f =a
        A zatem: a=b=c=d=e=f
        Czyli: a=d
        A to daje sprzeczność z warunkiem k \neq 1.
      2. f=b
        Wówczas: b \le c = d \le e \le f =b
        A zatem: b=c=d=e=f
        Czyli: b=e
        A to daje sprzeczność z warunkiem k \neq 1.
  3. e, f  \in \left\{a, \ b, \ c \right\}  \wedge d \notin \left\{a, \ b, \ c \right\}
    Rozważmy kolejne trzy przypadki:
    1. e=a
      Tu mamy dwa przypadki:
      1. f=b
        e=kb=a  \Rightarrow k =\frac{a}{b}  \Rightarrow a \neq b
        f=kc=\frac{ac}{b}=b  \Rightarrow b^{2}=ac
        d=ka=\frac{a^{2}}{b} \neq c  \Rightarrow a \neq c  \wedge b \neq c \wedge a \neq b
        Co w konsekwencji daje nam, że długości boków są wyrazami ciągu geometrycznego o ilorazie różnym od jedności.
      2. f=c
        Ale tu mamy sprzeczność z warunkiem k \neq 1.
    2. e=b
      Ale tu mamy sprzeczność z warunkiem k \neq 1.
    3. e=c
      Tu mamy dwa przypadki:
      1. f=a
        Wówczas: a \le b \le c = e \le f =a
        A zatem: a=b=c=e=f
        Czyli: b=e
        A to daje sprzeczność z warunkiem k \neq 1.
      2. f=b
        Wówczas: b \le c = e \le f =b
        A zatem: b=c=e=f
        Czyli: b=e
        A to daje sprzeczność z warunkiem k \neq 1.

Koniec końców:
Trójkąt do którego można znaleźć drugi, tak by para spełniała warunki zadania, wtedy i tylko wtedy gdy spełnia następujące warunki:
  1. Długość jednego z boków jest średnią geometryczną pozostałych dwóch długości boków.
  2. Trójkąt nie jest równoboczny.
Otóż trójkąty do pary możemy wybrać na dwa sposoby:
Niech boki naszego trójkąta to: a, \ \sqrt{ac}, \ c.
Wówczas trójkąt do pary to trójkąt \sqrt{ac}, \ c, \ \sqrt{\frac{c^{3}}{a}} lub drugi do drugiej pary \sqrt{\frac{a^{3}}{c}}, \ a, \ \sqrt{ac}.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 sty 2013, o 18:13 
Użytkownik

Posty: 251
Lokalizacja: Great Plains
Ponewor - zmodyfikowałem nieco postać Twojego rozwiązania i chyba mogę to zapisać tak (o ile gdzieś się nie machnąłem):

Para trójkątów spełnia warunki zadania wtedy i tylko wtedy, gdy jest postaci (a,aq,aq^2;aq,aq^2,aq^3) gdzie a jest dowolną liczbą dodatnią, natomiast q jest dowolną liczbą z przedziału \left(\frac{-1+\sqrt{5}}{2},1\right) \cup \left(1,\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right).
Innymi słowy gdybyśmy wzięli wszystkie pary (a,q) \in (0, \infty ) \times \left(\frac{-1+\sqrt{5}}{2},1\right) \cup \left(1,\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right), to otrzymalibyśmy wszystkie (i same tylko) pary trójkątów (a,aq,aq^2;aq,aq^2,aq^3) spełniające warunki zadania. To w zasadzie to samo co napisałeś tylko (moim zdaniem) z tej postaci nieco łatwiej widać jak szybko generować takie trójkąty (o ile gdzieś nie zablefowałem ). Dzięki bardzo za rozwiązanie!



bb314 - nie bardzo wiem jak napisać za Twoją propozycją "Para trójkątów spełnia warunki zadania wtedy i tylko wtedy, gdy ..." (tzn. co powinienem napisać po trzykropku). Poza tym kompletnie nie rozumiem co to za funkcja, skąd się wzięła, dlaczego akurat taka. Jaki ona ma wzór w ogóle? \alpha =f( \beta ), ale czym jest f( \beta ) tzn. jak znaleźć wartość tej funkcji dla argumentu \beta?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 27 sty 2013, o 18:15 
Użytkownik

Posty: 16232
W sumie wyszło na to co pisałam na starym topiku.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 sty 2013, o 18:18 
Użytkownik

Posty: 251
Lokalizacja: Great Plains
Tak, ale tam nie było pokazane, że nie ma innych trójkątów, które nie byłyby tej postaci (chyba że coś przeoczyłem). Też miałem podejrzanie o geometryczność, ale nie pokazałem, że tak zawsze musi być.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 27 sty 2013, o 20:32 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 871
Lokalizacja: Namysłów
To dorzucam jeszcze moje wypociny nt.. Wynika z nich, że q (u mnie k) \in\left( 1,\ \frac{\sqrt5+1}{2}\right)

http://bb314.cba.pl/Pary_trojkatow.html

.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 12 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Podobieństwo trójkątów i twierdzenie talesa.  olenkat90  3
 Przystawanie trójkatów  Kulfon  0
 wysokości trójkątów - zadanie 2  BLC  5
 3 zadania z własności trójkątów  izo11  2
 zadnie z wlasnosci trojkatow  albek49  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl