szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
PostNapisane: 27 sty 2013, o 20:19 
Użytkownik
Cześć! mam problem jeśli chodzi o jedno zadanie:

Napisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt P\left( -3,1,4\right) i zawierającej prostą k: x=4+2t, y=3-2t, z=1-4t Oblicz odległość punktuK(-5,6,3) od tej płaszczyzny.

Nie wiem jak w sumie zacząć, bo wiem tyle że muszę skorzystać ze wzoru na prostą i chyba wyznaczyć wektor n aby potem podstawić ten wektor i punkt P pod ten wzór...tak?
ale nie rozumiem wyliczenia odległości pkt K.nie jestem pewna nawet jakiego wzoru powinnam użyć

Proszę o wskazówki : )
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 sty 2013, o 22:08 
Moderator

Posty: 4439
Lokalizacja: Łódź
Zaproponuję inną, bardziej elementarną metodę rozwiązania.

Niech Ax+By+Cz+D=0 będzie równaniem ogólnym szukanej płaszczyzny. Należy wyznaczyć A,B,C,D pamiętając, że nie mogą być jednocześnie równe zeru.

Skoro prosta leży w płaszczyźnie, to ma z nią nieskończenie wiele punktów wspólnych.
Zatem równanie
A(4+2t)+B(3-2t)+C(1-4t)+D=0
z niewiadomą t ma nieskończenie wiele rozwiązań. Ostatnie równanie jest równoważne następującemu:
(2A-2B-4C)t+(4A+3B+C+D)=0.
Z otrzymanej równości dwumianów wynika, że \begin{cases} 2A-2B-4C=0 \\ 4A+3B+C+D=0 \end{cases}.

Co więcej, uwzględniając punkt należący do płaszczyzny mamy -3A+B+4C+D=0. Ostatecznie otrzymujemy układ równań postaci \begin{cases} 2A-2B-4C=0 \\ 4A+3B+C+D=0 \\ -3A+B+4C+D=0\end{cases}.

Rozwiązując ten układ wystarczy rozważyć przypadki A=0, A=1 (jeśli bowiem A\ne 0, to dzieląc równanie płaszczyzny przez A dostajemy równanie opisujące tę samą płaszczyznę).

Odległość punktu K od płaszczyzny wyraża się wzorem
\frac{|-5A+6B+3C+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}.
Góra
PostNapisane: 27 sty 2013, o 22:34 
Użytkownik
w życiu bym nie pomyślała o takim rozwiązaniu! teraz to jest bardzo proste i zrozumiałe. Na zajęciach wmuszają nam niestety korzystanie ze wzorów,ale ten sposób jest po prostu super :) Dziękuję! zrozumiałam :D
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Znajdź równanie ogólnej stycznej i stycznych do okręgu  Anonymous  2
 Wzory: na dwusieczna w trójkącie oraz na prostą prostopa  Anonymous  1
 Czym jest zbiór pkt. płaszczyzny spełniających równan  Anonymous  5
 Wzór na prostą pokrywającą się z wektorem  Anonymous  3
 Znajdz równanie prostej stycznej do okręgu  Anonymous  8
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl