szukanie zaawansowane
 [ Posty: 9 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 sty 2013, o 21:27 
Użytkownik

Posty: 211
Lokalizacja: Daleko
W trójkącie prostokątnym ABC, kąt przy wierzchołku A jest prosty , zaś kąt |ACB|= 60stopni .
Dwusieczna kąta ACB przecina bok AB w punkcie D . Wykaż , że
\left| CB\right|^{2} - 2 * \left| DB\right|^{2} = \left| AD\right|^{2} + \left| AC\right|^{2}

Próbowałem przekształceniami pitagorasa , ale to nie wychodzi bo brakuje jednego odcinka i nie wychodzi.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 sty 2013, o 21:40 
Gość Specjalny

Posty: 2952
Lokalizacja: Wrocław
Zauważmy, że z tw. cosinusów mamy, że BC^2=DB^2+DC^2+DC \cdot DB=DB^2+DB^2+DB \cdot DB=3DB^2. Mamy zatem równości
P=AD^2+AC^2=DB^2=3DB^2-2DB^2=BC^2-2DB^2=L.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 sty 2013, o 21:40 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2099
Lokalizacja: Warszawa
Skorzystaj z tw. o dwusiecznej. Oznacz sobie najlepiej: |AC|=a i pozostałe wielkości wyznacz za pomocą a(masz w końcu do czynienia z trójkątem 30^{\circ} \ 60^{\circ } \  90^{\circ})
Pozdrawiam!
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 sty 2013, o 23:07 
Użytkownik

Posty: 211
Lokalizacja: Daleko
Nie miałem jeszcze tego twierdzenia o cosinusach.
I nie bardzo mogę porównać bo na necie jest jeszcze -2ab cosinus alfa , a u ciebie tego nie ma , także nie mam pojęcia skąd się to wzięło.

Ale co mi da że sobie podstawię . tweirdzenie o dwusiecznych też mi niezbyt daje coś.

Pobawiłem się jeszcze trochę i nie mam zielonego pojęcia jak to policzyć.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 sty 2013, o 23:18 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2099
Lokalizacja: Warszawa
No to nawet bez tw. o dwusiecznej można:
Rysunek:
Załącznik:
trójkąt prostokątny dowód.png
trójkąt prostokątny dowód.png [ 8.91 KiB | Przeglądane 6807 razy ]

Te oznaczenia boków wynikają z własności boków w trójkącie 30^{\circ} \ 60^{\circ} \ 90^{\circ} lub z funkcji trygonometrycznych.
Teraz podstaw te długości do wzoru z treści zadania.
Pozdrawiam!
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 sty 2013, o 23:40 
Użytkownik

Posty: 211
Lokalizacja: Daleko
Nie rozumiem dlaczego odcinek AD tyle się równa.
I dlaczego AC = a ?
Jeśli biorąc pod uwagę kąty 30 60 i 90 to w trójkącie ACB między 60 i 90 jest jak najbardziej a , ale jak brać pod uwagę trójkąt ACD to już odcinek AC= a pierwiastek z 3 bo jest między kątem 30 i 90 .

-- 30 sty 2013, o 22:50 --

Już zrobiłem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 sty 2013, o 23:53 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2099
Lokalizacja: Warszawa
Dajemy jedno oznaczenie dla boku AC, aby ułatwić sobie rozwiązanie. |AC|=a
Dla trójkąta ABC \ AC jest najkrótszym bokiem. Lecz dla trójkąta ACD bok AC spełnia funkcję dłuższej przyprostokątnej.
Czyli, aby obliczyć długość odcinka AD musimy wykonać działanie:
|AD|= \frac{|AC|}{\sqrt{3}}= \frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{a \sqrt{3}}{3}
Teraz:
|DB|=|AB|-|AD|=a \sqrt{3}- \frac{a \sqrt{3}}{3}= \frac{2a \sqrt{3}}{3}
Pozdrawiam!
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 sty 2013, o 00:00 
Gość Specjalny

Posty: 2952
Lokalizacja: Wrocław
jeszcze wracając do tego kosinusa:

macikiw2 napisał(a):
I nie bardzo mogę porównać bo na necie jest jeszcze -2ab cosinus alfa , a u ciebie tego nie ma


też jest u mnie, tylko, że już policzone, bo \alpha=120 więc \cos \alpha=-\frac{1}{2} i to podstawiłem :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 kwi 2017, o 15:30 
Użytkownik

Posty: 1
Lokalizacja: Wrocław
W rozwiązaniu skorzystałem tylko z tego, że dwusieczna dzieli kąt ACB na pół. Reszta to czysta logika.

link do strony z obrazkiem: http://wstaw.org/w/4s1z/

Miniatura:

Obrazek

Pozdro :D
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 9 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Dowód na sumę kątów w trójkącie  metamatyk  3
 Dowód na twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa  Klinowski Irocent  1
 Jaki to trójkąt? Podane długości boków  iwcia100  3
 Trójkąt - Oblicz długość trzeciego boku  Tama  3
 Wzór na promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokąt  Anonymous  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl