szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 sty 2013, o 12:21 
Użytkownik

Posty: 2224
Lokalizacja: Warszawa
Mam za zadanie obliczyć objętość czworościanu wyznaczonego przez następujące punkty:
p_0=\left( 1,-1,2\right)
p_1=\left( 2,1,1\right)
p_2=\left( 4,0,3\right)
p_3=\left( 2,-2,3\right)

Zrobiłem to w ten sposób:
Wyznaczyłem płaszczyznę M przechodzącą przez punkty p_0,p_1,p_2 M: 3x-4y-5z+3=0
Policzyłem pole podstawy tak, że policzyłem sumę wektorów \vec{v}= \left[ p_1-p_2\right]+\left[ p_0-p_2\right]=\left[ -5,0,-3\right] , potem policzyłem \frac{1}{4}\left| v\right|\cdot \left| \left[ p_1-p_0\right] \right|= \frac{1}{4} \sqrt{34}  \sqrt{6}= \frac{ \sqrt{51} }{2} , czyli policzyłem pole połowy równoległoboku, czyli pole trójkąta.
Następnie policzyłem odległość punktu p_3 od płaszczyzny M odl= \frac{2}{5 \sqrt{2} }.
Na koniec podstawiłem do wzoru na objętość czworościanu, czyli V= \frac{1}{3} P_p \cdot H= \frac{ \sqrt{102} }{30}

Czy ktoś mógłby sprawdzić wynik i powiedzieć, czy to jest dobra metoda? Jeśli nie, to czy jest jakaś szybsza?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 sty 2013, o 13:06 
Moderator

Posty: 4439
Lokalizacja: Łódź
Zastanów się nad obliczeniem pola trójkąta p_0p_1p_2. Wydaje się mi, że trochę przekombinowałeś. Czy to do pola trójkąta czy równoległoboku potrzebny jest iloczyn wektorowy (który w mia posiadanej wiedzy można sprytnie zastąpić iloczynem skalarnym).

Iloczyn wektorowy wektorów \vec{p_0p_1}, \vec{p_0p_2} wynosi
\left|\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -1 \\ 3 & 1 & 1 \\ i & j & k \end{array}\right|=2i-3j+k+i-j-6k=3i-4j-5k=[3,-4,-5]. Pole trójkąta p_0p_1p_2 to połowa długości tego iloczynu.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 sty 2013, o 13:17 
Użytkownik

Posty: 2224
Lokalizacja: Warszawa
Rzeczywiście tak jest dużo prościej, ale czy moje rozwiązanie jest prawidłowe? Mam zły wynik tylko przez błąd w obliczeniach, czy błąd merytoryczny?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 sty 2013, o 13:30 
Moderator

Posty: 4439
Lokalizacja: Łódź
Wektory \vec{v}, \vec{p_0p_1} powinny być zaczepione w jednym punkcie. Tymczasem \vec{v} jest zaczepiony w p_2, a \vec{p_0p_1} w p_0.

Zresztą \vec{v} jest wektorem przekątnej w równoległoboku. Twój pomysł byłby niezły, gdyby ten równoległobok był rombem, bo wówczas obowiązywałby wzór na pole jako połowa iloczynu długości przekątnych.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 sty 2013, o 13:33 
Użytkownik

Posty: 2224
Lokalizacja: Warszawa
Ups, rzeczywiście. Niezłą głupotę napisałem.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Oblicz objętość czworościanu  mex  2
 Oblicz pole kwadratu ograniczonych prostymi o równaniach  Anonymous  1
 Oblicz wysokość trójkąta mając dane współrzedne wie  dzidzia5  2
 Oblicz współrzedne punktu P przecięcia obu stycznych  Anonymous  2
 Oblicz współrzędne punktu powstałego przez obrót dook  mex  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl