szukanie zaawansowane
 [ Posty: 15 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 sty 2013, o 12:59 
Użytkownik

Posty: 178
Polecenie jak w temacie.
Mam takie dwa przykłady
1) \frac{2x+5}{x ^{2} -x-2}

2)  \frac{3x ^{2} +4x+3}{x ^{3}- x^{2}  +4x-4}
Chciałbym się nauczyć rozkładać je wg tego sposobu http://www.matematyka.pl/237781.htm (on jest uniwersalny?)
Widzę, że muszę zamienić mianownik na postać iloczynową.
W pierwszym nie ma problemu będzie to jeśli się nie mylę (x+1)(x-2)
Ale jak zamienić mianownik na postać iloczynową w drugim przykładzie?

Chyba dobrze to robię?
\frac{3x ^{2} +4x+3}{x ^{3}- x^{2}  +4x-4}
Korzystam sobie z twierdzenia Bezouta (dzielnikami wyrazu wolnego są: 1,-1,2,-2,4,-4)
W(1)=1-1+4-4=0

x ^{3}- x^{2}  +4x-4:(x-1)=x ^{2}+4

\Delta=0-16=-16

Czyli nie ma rozwiązań.
Jak to inaczej zamienić?

A już wiem. Grupowaniem wyrazów to się da, wcześniej jakoś nie zauważyłem
x ^{3}- x^{2}  +4x-4=x ^{2}(x-1)+4(x-1)=(x-1)(x ^{2}+4)

Czyli
\frac{3x ^{2} +4x+3}{(x-1)(x ^{2}+4)}= \frac{A}{(x-1)}+ \frac{B}{(x ^{2}+4) }   \ / \cdot (x-1)

\frac{3x ^{2} +4x+3}{(x ^{2}+4)}=A+ \frac{B(x-1)}{(x ^{2}+4 }

Podstawiam jedynkę za x
A=2

\frac{3x ^{2} +4x+3}{(x-1)(x ^{2}+4)}= \frac{2}{(x-1)}+ \frac{B}{(x ^{2}+4) }   \ / \cdot (x ^{2}+4)

\frac{3x ^{2} +4x+3}{(x-1)}= \frac{2(x ^{2}+4) }{(x-1)}+B

Podstawiam sobie za x dwójkę
3 \cdot 4+8+3=2(4+4)+B

B=7

Odp.
\frac{3x ^{2} +4x+3}{(x-1)(x ^{2}+4)}= \frac{2}{(x-1)}+ \frac{7}{(x ^{2}+4) }
Dobrze to zrobiłem?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 31 sty 2013, o 17:04 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 871
Lokalizacja: Namysłów
dawid91 napisał(a):
Odp.
\frac{3x ^{2} +4x+3}{(x-1)(x ^{2}+4)}= \frac{2}{(x-1)}+ \frac{7}{(x ^{2}+4) }
Dobrze to zrobiłem?

Nie.

\frac{2}{(x-1)}+ \frac{7}{(x ^{2}+4) }=\frac{2(x^2+4)+7(x-1)}{(x-1)(x^2+4)}=\frac{2x^2+7x+1}{(x-1)(x^2+4)}\blue \neq \black\frac{3x ^{2} +4x+3}{(x-1)(x ^{2}+4)}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 sty 2013, o 20:24 
Użytkownik

Posty: 178
Mógłby ktoś napisać co robię źle?
Robiłem wg tego sposobu http://www.matematyka.pl/237781.htm
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 31 sty 2013, o 21:10 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 871
Lokalizacja: Namysłów
dawid91 napisał(a):
\frac{3x ^{2} +4x+3}{(x-1)}= \frac{2(x ^{2}+4) }{(x-1)}+B

Podstawiam sobie za x dwójkę
3 \cdot 4+8+3=2(4+4)+B

B=7

A podstaw sobie za x trójkę... albo czwórkę

Ten sposób jest dobry tylko wtedy, gdy w mianowniku jest wielomian pierwszego stopnia, czyli postaci x+g

Gdy mianownikiem jest wielomian drugiego stopnia, nierozkładalny, wówczas w liczniku musi być wielomian pierwszego stopnia, czyli ułamek wygląda na podobę \frac{Kx+L}{x^2+gx+h}. Inaczej nie można postawić znaku równoważności
\frac{3x ^{2} +4x+3}{(x-1)(x^2+4)}\ \red\equiv\ \black \frac{A}{x-1}+\frac{B}{x^2+4}

\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x^2+4}=\frac{A(x^2+4)+B(x-1)}{(x-1)(x^2+4)}=\frac{Ax^2+4A+Bx-B}{(x-1)(x^2+4)}=\frac{Ax^2+Bx+4A-B}{(x-1)(x^2+4)}

\frac{Ax^2+Bx+4A-B}{(x-1)(x^2+4)}\blue\ \equiv\ \black\frac{3x ^{2} +4x+3}{(x-1)(x^2+4)}\ \ \green \Rightarrow \black\ \  \begin{cases} A=3 \\ B=4\\4A-B=3 \end{cases} sprzeczność!
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 31 sty 2013, o 22:24 
Użytkownik

Posty: 178
Naprawdę mało w internecie jest informacji na ten temat, a jak już się coś znajdzie to jest napisane takim językiem, że człowiek czytając to myśli, że nigdy tego nie pojmie. Ale już chyba to rozumiem. Czyli jeśli mamy w mianowniku wielomian stopnia n to w liczniku musimy mieć wielomian stopnia n-1. W moim przypadku pierwszy ułamek prosty ma w mianowniku wielomian stopnia pierwszego więc w liczniku powinien mieć wielomian stopnia zerowego czyli jakąś stałą A. Drugi ułamek prosty w mianowniku ma wielomian stopnia drugiego (funkcję kwadratową) x ^{2}+4 więc w liczniku powinien mieć wielomian stopnia pierwszego (funkcję liniową) w postaci Bx+C.

Układam sobie równanie
\frac{3x ^{2} +4x+3}{(x-1)(x ^{2}+4)}= \frac{A}{(x-1)}+ \frac{Bx+C}{(x ^{2}+4) }
Mnożę obie strony przez wspólny mianownik
\frac{3x ^{2} +4x+3}{(x-1)(x ^{2}+4)}= \frac{A}{(x-1)}+ \frac{Bx+C}{(x ^{2}+4) }   \ / \cdot(x-1)(x ^{2}+4)

3x ^{2} +4x+3=A(x ^{2}+4)+(Bx+C)(x-1)
Wymnażam nawiasy
3x ^{2} +4x+3=Ax ^{2}+4A+Bx ^{2} -Bx+Cx-C
Porównuję wielomian z lewej strony do wielomianu z prawej strony.
Współczynniki, które stoją przy największej potędze (przy x ^{2}) dadzą pierwsze równanie, współczynniki które stoją przy x dadzą drugie równanie i wyrazy wolne dadzą trzecie równanie.
\begin{cases}3=A+B\\
4=-B+C\\
3=4A-C\end{cases}
Rozwiązuję teraz ten układ równań
Z pierwszego równania wyliczam A
3=A+B\\
A=3-B
Z drugiego równania wyliczam C
4=-B+C\\
C=4+B
Podstawiam to do trzeciego równania i wyliczam B
3=4(3-B)-(4+B)\\
3=12-4B-4-B\\
4B+B=12-4-3\\
5B=5 |:5\\
B=1\\

A=3-1\\
A=2

C=5

Odp. \frac{3x ^{2} +4x+3}{(x-1)(x ^{2}+4)}= \frac{2}{(x-1)}+ \frac{x+5}{(x ^{2}+4) }
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 31 sty 2013, o 23:39 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 871
Lokalizacja: Namysłów
Widzę, że wszystko pojąłeś.

No, może z wyjątkiem tego:
dawid91 napisał(a):
Układam sobie równanie
\frac{3x ^{2} +4x+3}{(x-1)(x ^{2}+4)}= \frac{A}{(x-1)}+ \frac{Bx+C}{(x ^{2}+4) }

Nie układamy równania, tylko równoważność.
Równanie to jest coś, z czego można wyliczyć jakąś jedną niewiadomą, np. x.
A tu mamy trzy niewiadome parametry A,\ B,\ C, potrzebujemy trzech równań. Biorą się one z równoważności, tzn. takiego zapisu, który jest prawdziwy dla każdego iksa. czyli
\frac{3x ^{2} +4x+3}{(x-1)(x ^{2}+4)}\ \magenta\equiv\ \black \frac{A}{(x-1)}+ \frac{Bx+C}{(x ^{2}+4) }

Dopowiem jeszcze tylko, że przy rozkładaniu na ułamki proste, w mianowniku występują wielomiany tylko pierwszego i drugiego stopnia (nierozkładalny, czyli taki, którego \Delta<0)
wielomiany wyższego stopnia zawsze da się rozłożyć na iloczyn wielomianów pierwszego i drugiego stopnia.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 lut 2013, o 11:17 
Użytkownik

Posty: 178
Jeszcze widzę taką zasadę w tych ułamkach prostych.
Jeśli składniki mianownika są podniesione do kwadratu tak jak tu

\frac{1}{x ^{2}\left( x-1\right) ^{2}   }

to rozkładamy go tak

\frac{1}{x ^{2}\left( x-1\right) ^{2}   }= \frac{A}{x}+ \frac{B}{x ^{2} }+ \frac{C}{\left( x-1\right) }+ \frac{D}{\left( x-1\right) ^{2}  }

Czyli rozumiem, że jakbyśmy mieli taką funkcję wymierną:

\frac{1}{x ^{2}\left( x ^{2} -1\right) ^{2}   }

to byłoby tak?

\frac{1}{x ^{2}\left( x-1\right) ^{2}   }= \frac{A}{x}+ \frac{B}{x ^{2} }+ \frac{Cx+D}{\left( x ^{2} -1\right) }+ \frac{Ex+F}{\left( x ^{2} -1\right) ^{2}  }

Chociaż chyba w tym przypadku (x ^{2}-1)^{2} można rozłożyć na (x-1)(x+1)(x-1)(x+1)?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 1 lut 2013, o 12:03 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 871
Lokalizacja: Namysłów
\frac{1}{x ^{2}\left( x ^{2} -1\right) ^{2}   }\equiv\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x-1}+\frac{D}{(x-1)^2}+\frac{E}{x+1}+\frac{F}{(x+1)^2}


a jak rozłożyłbyś na ułamki proste?

\frac{1}{x^4+1}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 lut 2013, o 13:27 
Użytkownik

Posty: 178
bb314 napisał(a):
a jak rozłożyłbyś na ułamki proste?

\frac{1}{x^4+1}

Chyba nie da się tego rozłożyć. To już jest ułamek prosty?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 1 lut 2013, o 16:08 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 871
Lokalizacja: Namysłów
Nie. Pisałam wyżej, że każdy wielomian da się przedstawić jako iloczyn wielomianów pierwszego i drugiego stopnia.

x^4+1=\left( x^2\right)^2+1^2=\left( x^2\right)^2+2\cdot x^2\cdot1+1^2-2\cdot x^2=\left( x^2+1\right)^2 -\left( \sqrt2x\right)^2=

=\left( x^2+1-\sqrt2x\right)\left( x^2+1+\sqrt2x\right) =\left( x^2-\sqrt2x+1\right)\left( x^2+\sqrt2x+1\right)

\frac{1}{x^4+1}\equiv\frac{Ax+B}{x^2-\sqrt2x+1}+\frac{Cx+D}{x^2+\sqrt2x+1}

\frac{1}{x^4+1}\equiv\frac{-\frac{\sqrt2}{4}x+\frac12}{x^2-\sqrt2x+1}+\frac{\frac{\sqrt2}{4}x+\frac12}{x^2+\sqrt2x+1}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2013, o 15:38 
Użytkownik

Posty: 178
Trochę kosmos :?

A jakbyś rozłożyła taką funkcję?
\frac{x-2}{\left( x-1\right)\left( x ^{2}+x+2 \right)  }

Nie miałem pomysłu na egzaminie i rozłożyłem ją po prostu tak:

\frac{x-2}{\left( x-1\right)\left( x ^{2}+x+2 \right)  }= \frac{A}{(x-1)}+ \frac{Bx+C}{x ^{2}+x+2 }

Ale po sprawdzeniu wyniku wyszło, że to źle. Na pewno x ^{2}+x+2 da się w jakiś kosmiczny lub niekosmiczny sposób rozłożyć :P
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 3 lut 2013, o 17:48 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 871
Lokalizacja: Namysłów
dawid91 napisał(a):
A jakbyś rozłożyła taką funkcję?
\frac{x-2}{\left( x-1\right)\left( x ^{2}+x+2 \right)  }


Dokładnie tak samo jak Ty, jeśli mówimy o liczbach rzeczywistych.
Jeśli uwzględnić liczby zespolone, to każdy wielomian drugiego stopnia da się rozłożyć na dwa czynniki pierwszego stopnia

x ^2+x+2=(x-x_1)(x-x_2)

\Delta =1^2-4\cdot1\cdot2=1-8=-7\ \ \green \Rightarrow \black\ \ \sqrt{\Delta}=i\sqrt7

x_1=\frac{-1-i\sqrt7}{2\cdot1}=\frac{-1-i\sqrt7}{2}

x_2=\frac{-1+i\sqrt7}{2\cdot1}=\frac{-1+i\sqrt7}{2}

x ^2+x+2=\left(x+\frac12+\frac{\sqrt7}{2}\cdot i\right)\left(x+\frac12-\frac{\sqrt7}{2}\cdot i\right)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2013, o 21:05 
Użytkownik

Posty: 178
Liczby rzeczywiste, ale coś mi nie wyszło wtedy i teraz też nie wychodzi

\frac{x-2}{\left( x-1\right)\left( x ^{2}+x+2 \right)  }= \frac{A}{(x-1)}+ \frac{Bx+C}{x ^{2}+x+2 }

x-2=A(x ^{2}+x+2)+(Bx+C)(x-1)\\
x-2=Ax ^{2} +Ax+2A+Bx ^{2}-Bx+Cx-C

\begin{cases}0=A+B\\
1=A-B+C\\
-2=2A-C\end{cases}
A=-B\\
-2=-2B-C\\
C=-2B-C\\
C=-2B+2\\
\\
1=-B-B+(-2B+2)\\
1=-4B+2\\
4B=2-1\\
B= \frac{1}{4}\\
A=-\frac{1}{4}\\
C=-2 \frac{1}{4}+2 \\
C=-\frac{1}{4}\\

\frac{x-2}{\left( x-1\right)\left( x ^{2}+x+2 \right)  }= \frac{-\frac{1}{4}}{(x-1)}+ \frac{x-1}{x ^{2}+x+2 }

\frac{x-2}{\left( x-1\right)\left( x ^{2}+x+2 \right)  } \neq \frac{- \frac{3}{4}x- \frac{1}{4}  }{\left( x-1\right)\left( x ^{2}+x+2 \right)  }
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2013, o 21:08 
Użytkownik

Posty: 435
Lokalizacja: Dębica/Rzeszów
złe 3 róownanie w ukladzie
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2013, o 21:15 
Użytkownik

Posty: 178
Zamieniłem A z B przy przepisywaniu, teraz jest tak jak mam na kartce. Dalej źle?

-- 5 lut 2013, o 16:49 --

Pomoże ktoś?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 15 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Nierówności wymierne z pierwiastkiem  patyk64  5
 Równania i nierówności wymierne z wartością bezwzględną  qwers  2
 Równianie Wymierne - zadanie 2  karols146  2
 Równania wymierne - zadanie 37  tomek1410  6
 Wyrażenie wymierne  djrollo  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl