szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2013, o 14:48 
Użytkownik

Posty: 16
Lokalizacja: Warszawa
Witam
Na egzaminie z matematyki (I sem) przyszło mi się zmierzyć z zadaniem:
Równanie:2 x^{2} - 10xy + 2 y^{2}= 21 zamień na postać kanoniczną.
Niestety nie mam bladego pojęcia jak się za to zabrać. Dziękuję za jakąkolwiek pomoc :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2013, o 18:27 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 77
Lokalizacja: Zabrze
Poszukajmy deltę tego równania, czyli pod y podstawiamy najpierw 0.
Otrzymujemy: 2x^{2}=21  \Rightarrow  2x^{2}-21=0

\Delta =  b^{2} - 4ac  \Rightarrow 0-4 \cdot    2 \cdot (-21)=168

Teraz wzory na współrzędne wierzchołka paraboli :

p= \frac{-b}{2a}

q= \frac{-\Delta }{4a}

p= 0 \wedge q=21

Postać kanoniczna ma zatem wzór : y=2 x^{2}+21
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 lut 2013, o 20:27 
Użytkownik

Posty: 16
Lokalizacja: Warszawa
eeeee to jest na 100% błędne rozwiązanie. Już prędzej widziałbym tu przekształcenie ortogonalne z macierzy diagonalnej.

-- 4 lut 2013, o 20:40 --

Rozwiązałem zadanie i dzielę się nim:

Musimy ułożyć macierz formy, ogólny wzór pozwalający na ułożenie tej macierzy jest w postaci:
a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}+2dxy+2exz+2fyz

gdzie: x; y; z to nasze zmiennie z równania
a; b; c; d; e; f to współczynniki liczbowe przy zmiennych

i dla ogólnego wzoru ogólna macierz formy ma postać:
\begin{bmatrix} a&d&e\\d&b&f\\e&f&c\end{bmatrix}

Dla naszego równania macierz formy przybierze postać:
\begin{bmatrix} 2&-5\\-5&2\end{bmatrix}

Następnie do macierzy dodajemy operator \Lambda do przekątnej w której jest liczba 2

\begin{bmatrix} 2- \Lambda&-5\\-5&2-\Lambda\end{bmatrix}

Obliczamy wyznacznik tej macierzy który ma postać \Lambda^{2}-4\Lambda -21 i to przyrównujemy do 0

I wyliczamy pierwiastki tej funkcji i są to -3\ oraz\ 7

Ostatnim krokiem jest ułożenie iloczynu macierzy:

\begin{bmatrix} x&y\end{bmatrix} * \begin{bmatrix} 7&0\\0&-3\end{bmatrix}[/tex]*\begin{bmatrix} x\\y\end{bmatrix}

pamiętając że z pierwiastków lambdy układamy macierz diagonalną tak aby argumenty były ułożone NIEROSNĄCO.
Po wykonaniu mnożenia powstaje: 7 x^{2}-3y^{2}=21

Zadanie poziomu I sem politechniki
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Postać kanoniczna równania  Kapol  4
 Postać kanoniczna równania - zadanie 2  YyyYYyyyY  2
 Równania stycznych do okręgu  Anonymous  3
 Wyznaczanie równania okręgu.  Anonymous  3
 Wyznaczanie równania okręgu  lookasiu87  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl