szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 lut 2013, o 17:06 
Użytkownik

Posty: 19
Lokalizacja: Opole
Z początku układu współrzędnych poprowadzono cięciwy okręgu x^{2} +y^{2} =2x. Wyznaczyć równanie zbioru wszystkich środków tych cięciw.

Zadanie wydaje się dość proste, aczkolwiek żadne podstawienia mi nie wychodzą. Mógłby ktoś zamieścić pełne rozwiązanie tego zadania?

Wiem, że ma wyjść x =  x^{2} + y ^{2}.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 lut 2013, o 17:57 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Analitycznie można zrobić to tak: prosta zawierająca cięciwę to y=tx dla pewnego t rzeczywistego. Łatwo stąd wyznaczyć wszystko zależnie od t - końce cięciwy to (0,0) i \left( \frac{2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2}\right), a zatem środek cięciwy to \left( \frac{1}{1+t^2}, \frac{t}{1+t^2}\right), gdzie t może być dowolną liczbą rzeczywistą. Przy odrobinie gimnastyki można sprawdzić, że to przedstawienie parametryczne istotnie wyznacza nam okrąg x^2+y^2=x.

Efektowniejsze jest jednak rozwiązanie geometryczne: jednokładność o środku w (0,0) i skali k=\frac 12 przekształca nam koniec każdej żądanej cięciwy na środek takiej cięciwy. Tak więc zbiór końców cięciw ta jednokładność przekształca na zbiór środków cięciw. Ponieważ zbiorem końców cięciw jest wyjściowy okrąg (o środku (1,0) i promieniu 1), to zbiorem środków cięciw jest ten okrąg po przekształceniu przez jednokładność (czyli o środku w \left( \frac 12,0 \right) i promieniu \frac 12).

Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 lut 2013, o 18:03 
Użytkownik

Posty: 19
Lokalizacja: Opole
Skąd wzięło się \left( \frac{2}{1+t^2}, \frac{2t}{1+t^2}\right)?

Albo ok, już wiem :). 1 minutka rachunkowania i rozumiem skąd się to wzięło :).

Dzięki wielkie za pomoc.

Swoją drogą, czy rozwiązanie na 'pomyślenie', tj. od razu wypisanie równania (można to bardzo łatwo zauważyć) i podanie krótkiego uzasadnienia byłoby poprawne?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 lut 2013, o 18:06 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Z rozwiązania (przy ustalonym parametrze t) układu równań:
\begin{cases}x^2+y^2=2x\\ y=tx\end{cases}

Q.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 równanie zbioru punktów  mida  1
 Znajdź równanie ogólnej stycznej i stycznych do okręgu  Anonymous  2
 Znajdz równanie prostej stycznej do okręgu  Anonymous  8
 Równanie prostej przechodzącej przez 2 punkty  mnk  1
 Równanie kllepsydry.  Anonymous  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl