szukanie zaawansowane
 [ Posty: 10 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lut 2013, o 23:57 
Użytkownik

Posty: 217
Lokalizacja: Toruń
Tak jak w temacie. Treść zadania brzmi czy funkcja jest funkcją różnowartościową?
Prosiłbym aby ktoś sprawdził czy dobrze rozumuje poniższe przykłady.

1) f(x)=4x(1-x)
Df=R
f( x_{1})=f( x_{2})  \Rightarrow 4x_{1}(1-x_{1})=4x_{2}(1-x_{2})
x_1(1-x_1)=x_2(1-x_2)
x_1-x_1^2=x_2-x_2^2
Funkcja jest różnowartościowa.

2) f(x)= \sqrt{3x+5}
Df = (- \frac{5}{3}, \infty )
f( x_{1})=f( x_{2})  \Rightarrow  \sqrt{3x_1+5}=\sqrt{3x_2+5}
3x_1+5 = 3x_2+5
x_1 = x_2
Funkcja również jest róznowartościowa.
Dobrze?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lut 2013, o 23:59 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Pietrzak93 napisał(a):
f(x)=4x(1-x)
Df=R
f( x_{1})=f( x_{2})  \Rightarrow 4x_{1}(1-x_{1})=4x_{2}(1-x_{2})
x_1(1-x_1)=x_2(1-x_2)
x_1-x_1^2=x_2-x_2^2
Funkcja jest różnowartościowa.
Dlaczego z ostatniej linijki wnioskujesz, że funkcja jest różnowartościowa?

Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 lut 2013, o 00:05 
Użytkownik

Posty: 217
Lokalizacja: Toruń
No właśnie nie wiem czemu. Ale tak mi się wydawało że to jakoś tak było.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 lut 2013, o 00:08 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
A wiesz w ogóle co musisz zrobić, żeby pokazać, że funkcja jest (lub nie jest) różnowartościowa?

Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 lut 2013, o 00:17 
Użytkownik

Posty: 217
Lokalizacja: Toruń
Wiem tylko takie coś. Być może to nie wiele co wiem.

f(x_1)=f(x_2)  \Rightarrow x_1=x_2

lub

x_1 \neq x_2  \Rightarrow f(x_1)\neq f(x_2)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 lut 2013, o 00:21 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Tak, wystarczy wykazać prawdziwość tej pierwszej implikacji (dla dowolnych x_1,x_2 z dziedziny).

W drugim przykładzie zrobiłeś to poprawnie (aczkolwiek z tego co piszesz: bez zrozumienia), bo założyłeś, że f(x_1)=f(x_2) i wywnioskowałeś, że w takim razie x_1=x_2.

Natomiast w pierwszym przykładzie założyłeś, że f(x_1)=f(x_2) i pokazałeś póki co, że x_1-x_1^2= x_2 - x_2^2. Ale jeśli chciałbyś pokazać, że funkcja jest różnowartościowa, to musiałbyś wywnioskować stąd, że x_1=x_2.

Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 lut 2013, o 00:29 
Użytkownik

Posty: 217
Lokalizacja: Toruń
Czy ten pierwszy przykład funkcji nie jest różnowartościowy, ponieważ wydaje mi się że x_1-x_1^2=x_2-x_2^2 nie da się doprowadzić do postaci x_1=x_2 tak?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 lut 2013, o 09:51 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Dobrze Ci się wydaje, że pierwsza funkcja nie jest różnowartościowa, ale nie wystarczy powiedzieć, że "nie da się" z założenia f(x_1)=f(x_2) wywnioskować, że x_1=x_2. Trzeba to jeszcze wykazać.

A wykazuje się to w ten sposób, że znajdujemy dwa różne argumenty x_1,x_2, dla których f(x_1)=f(x_2). W tym przykładzie można zrobić to od razu przy odrobinie spostrzegawczości, bo f(0)=f(1).

Ale jeśli tego nie zauważymy, to możemy dokończyć rozumowanie tak:
f(x_1)=f(x_2)   \Leftrightarrow \\
x_1-x_1^2= x_2-x_2^2   \Leftrightarrow \\
x_1^2-x_2^2-x_1+x_2= 0  \Leftrightarrow \\
(x_1-x_2)(x_1+x_2)- (x_1-x_2)= 0  \Leftrightarrow \\
(x_1-x_2)(x_1+x_2-1)=0
I stąd dopiero widać, że z założenia f(x_1)=f(x_2) nie wynika x_1=x_2, bo równie dobrze może być x_1+x_2=1 (i x_1, x_2 \neq \frac 12).

Inaczej mówiąc: próba przeprowadzenia rozumowania f(x_1)= f(x_2)  \Rightarrow x_1=x_2 albo się uda (i wtedy wiemy, że funkcja jest różnowartościowa), albo nie uda (i wtedy dostajemy do ręki gotowy kontrprzykład na różnowartościowość).

Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 lut 2013, o 15:33 
Użytkownik

Posty: 217
Lokalizacja: Toruń
Okej, dzięk bardzo za pomoc. Teraz już to rozumiem.
Tyle że mam jeszcze problem z taką funkcją:

f(x)=x+x^2
Df = R
f(x_1)=f(x_2)  \Rightarrow x_1+x_1^2 = x_2+x_2^2   \Leftrightarrow
x_1+x_1^2 - x_2-x_2^2 = 0  \Leftrightarrow

No i teraz nie wiem co z tym zrobić?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 lut 2013, o 17:26 
Administrator

Posty: 21381
Lokalizacja: Wrocław
Qń napisał(a):
I stąd dopiero widać, że z założenia f(x_1)=f(x_2) nie wynika x_1=x_2, bo równie dobrze może być x_1+x_2=1 (i x_1, x_2 \neq \frac 12).

I nie można zapomnieć, by korzystając z tego spostrzeżenia wskazać konkretny kontrprzykład, bo dopiero on jest uzasadnieniem.

JK
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 10 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Kiedy potrzebne jest wyznaczanie dziedziny ?  mateo19851  4
 Funkcja zaokrąglajaca  Anonymous  3
 Surjekcja (funkcja "na")  lucky36  1
 Funkcja z parametrem...  Finarfin  2
 Jaka to funkcja?  Anonymous  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl