szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 lut 2013, o 18:42 
Użytkownik

Posty: 324
Lokalizacja: Pomorze
Dany jest okrąg o równaniu x^2-16x+y^2=0. Wykaż, że zbiór wszystkich środków cięciw tego okręgu poprowadzonych z początku układu współrzędnych jest okręgiem o środku S=(4,0) i promieniu r=4.

Teza:
(x-4)^2+y^2=16

Dowód:
\begin{cases} y=ax \\ x^2-16x+y^2=0 \end{cases} \\
x^2+a^2x^2-16x=0\\
x^2(1+a^2)-16x=0\\
x=0 \vee x= \frac{16}{1+a^2}

Środek cięciwy to:
\begin{cases} x= \frac{8}{1+a^2}\\y=ax\end{cases}

Teraz nie wiem jak to przekształcić aby wykazać tezę zadania.
Proszę o pomoc.
Pozdr!
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 lut 2013, o 19:06 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18380
Lokalizacja: Cieszyn
Nie tędy droga. Korzystasz z tego, co masz udowodnić. Zakładasz, że ten zbiór istotnie jest okręgiem. Nie tak. Z tego układu równań wyliczasz punkty wspólne z okręgiem i potem środek cięciwy. Potem poukładasz te współrzędne środka tak, aby zyskać równanie szukanego okręgu. A nawet tego nie trzeba: wyznacz odległość tego środka od punktu (4,0).

[EDIT] Usunąłem błędnie napisane komentarze.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 lut 2013, o 19:40 
Użytkownik

Posty: 324
Lokalizacja: Pomorze
chyba jednak wyjdzie okrąg: http://wstaw.org/m/2013/02/18/okrag.png

muszę jedynie te ostatnie równania przekształcić do postaci (tak mi się przynajmniej wydaje)
(x-4)^2+y^2=16
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 lut 2013, o 20:13 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18380
Lokalizacja: Cieszyn
Bardzo sobie cenię to eksperymentalne podejście. Świetnie!!! Teraz wiesz co masz pokazać. Tak pracuje matematyk.

Mój błąd wziął się stąd, że na szybko namalowałem okrąg o promieniu 4 i środku (4,4). Właściwy okrąg ma środek (8,0) i promień 8. Drugie równanie w układzie masz w porządku. Wszystkie cięciwy zaczynają się w (0,0). Ale dalsza wskazówka pozostaje w mocy.

Żeby się nie myliło innym Czytelnikom, kasuję z wcześniejszych postów błędne komentarze.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 lut 2013, o 20:24 
Użytkownik

Posty: 5105
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Geometria analityczna więcej w tym dowodzie przeszkadza niż pomaga. Niech o_1 to będzie wyjściowy okrąg, o środku A. Niech O oznacza środek układu współrzędnych i niech X będzie punktem różnym od A i O. Następujące warunki są równoważne:
1. X leży na okręgu, którego średnicą jest OA,
2. kąt AXO jest prosty,
3. X jest środkiem pewnej cięciwy okręgu o_1, przechodzącej przez O.

Osobno możemy sprawdzić, że punkty A i O należą do szukanego zbioru.

Zatem szukanym zbiorem jest okrąg o środku \frac{A+O}2 i promieniu \frac{|AO|}2.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 lut 2013, o 20:42 
Użytkownik

Posty: 324
Lokalizacja: Pomorze
@szw1710
czyli np za a podstawiam 1 i wychodzi mi jakiś punkt P=(4,4)
S= (4,0)
Zatem |PS| = 4 = r

Powoli zaczyna mi się wszystko mieszać.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 lut 2013, o 20:46 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18380
Lokalizacja: Cieszyn
Nie.

Masz początkowy układ równań. Rozwiązanie będzie OK. Wyznacz środek cięciwy. Początek (0,0), koniec to ten drugi punkt. Oblicz odległość tego środka od punktu (4,0).
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 okrąg o równaniu ogólnym  mlynaro  2
 Znajdź równanie okręgu...  demens  2
 Znajdź środek okręgu - zadanie 2  Bison  5
 Równanie okręgu z trzech punktów  Sajek  1
 Równanie okręgu o środku w punkcie...  karolajna  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl