szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 lut 2013, o 17:57 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: Krk
Proszę o wskazanie drogi rozwiązywania oraz kroków postępowania w tym zadaniu

Wyznacz współrzędne punktów leżących na okręgu
(x-6)^{2}+(y-1)^{2}=25
których odległość od punktu A = (0,-7) jest ekstremalna
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 lut 2013, o 18:51 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 12737
Lokalizacja: Kraków
Znajdź równanie prostej przechodzącej przez środek okręgu oraz punkt A.

Miejsca przecięcia tej prostej z okręgiem to poszukiwane punkty.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 lut 2013, o 19:07 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: Krk
a możesz to jakoś udowodnić dlaczego tak to będzie?

bo zadanie wydaje się troche za proste na egzamin z Matematyki na którym się także całkuje :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 lut 2013, o 19:11 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 12737
Lokalizacja: Kraków
Umieściłeś w dziale z geometrii, ale ok.

Zdefiniuj sobie funkcję odległości punktu A od dowolnie wybranego punktu okręgu - będzie to funkcja dwóch zmiennych (może być nawet jednej, jak zmieni się trochę wzór). Dalsza część to analiza tej funkcji - szukamy ekstremów lokalnych funkcji dwóch zmiennych (ew. jednej zmiennej).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 lut 2013, o 19:18 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: Krk
Nie za bardzo wiedziałem w jakim dziale umieścić to zadanie

i własnie jak ująć we wzorze : \sqrt{(deltaX)^{2}+(deltaY)^{2}}

odległość między punktami na kole a tym wybranym punktem? (chodzi o to jak ta funkcja bedzie dokładnie wyglądać)

btw: za pomocą cyrkla oraz linijki udało mi się geometrycznie potwierdzić to co napisałeś na poczatku
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 lut 2013, o 19:24 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 12737
Lokalizacja: Kraków
Po najłatwiejszej drodze wyglądać to może tak:

Z równania okregu

y=\pm \sqrt{25-(x-6)^2}+1

Masz więc punkty postaci (x,\pm \sqrt{25-(x-6)^2}+1)

i musisz znaleźć minimum i maksimum funkcji odległości powyższego od A.

Musisz rozważyć przypadki, gdy przy pierwiastku jest plus i minus.

Dla ułatwienia możesz przy liczeniu liczyć kwadrat odległości punktów - pierwiastkowane zachowuje monotoniczność.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 lut 2013, o 20:10 
Użytkownik

Posty: 1439
Lokalizacja: Warszawa
Skoro jesteśmy na Analizie to proponuję mnożniki Lagrange'a. Szukamy kresów funkcji f(x)=(d((x,y),(0,-7)))^2=x^2+(y-7)^2 na zbiorze O((6,1),5). Miałeś mnożniki Lagrange'a?

-- 22 lutego 2013, 20:57 --

gamek napisał(a):
a możesz to jakoś udowodnić dlaczego tak to będzie?

bo zadanie wydaje się troche za proste na egzamin z Matematyki na którym się także całkuje :)


Poprowadźmy prostą przez punkt P poza okręgiem, od którego odległości badamy i przez środek okręgu S. Niech A będzie punktem przecięcia prostej i okręgu, takim, że |PS|=|AP|+|AS|. Poprowadźmy dowolną inną sieczną i niech B będzie punktem przecięcia siecznej i okręgu bliższym P. Z nierówności trójkąta mamy

|PS|<|BS|+|BP|

|AS|+|AP|<|BS|+|BP|

|AP|<|BP|

Z dowolności B wynika, że A jest punktem najbliższym P.



Z kolei punkt na okręgu najdalszy od P musi być również najdalszy od A, a więc znajdować się na średnicy zawierającej A. Niech bowiem d będzie odległością od P jakiegoś innego punktu i niech x będzie długością cięciwy przechodzącą przez A i ten punkt, a d odległością tego punktu od P.
Ponownie z nierówności trójkąta mamy

d<|AP|+x<|AP|+2r
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Czworokąt opisany na okręgu - zadanie 6  EmperorPalpa  1
 Równanie prostych,środek okręgu...  adaxada  6
 wykazanie punktów wspólnych  milen_ka  1
 Powiązanie współrzędnych punktów  moniczka4444  0
 figura ograniczona 2 prostymi i fragmentem okręgu  izaizaiza  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl