szukanie zaawansowane
 [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 lut 2013, o 22:01 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17302
Lokalizacja: Cieszyn
Wstęp

Poniższy tekst ma na celu pokazanie, że zadając aksjomatycznie pewną rodzinę zbiorów można mówić o namiastkach ciągłości na wzór przestrzeni topologicznych. Po przypomnieniu klasycznego pojęcia odwzorowania ciągłego pomiędzy przestrzeniami topologicznymi pokazuję rodzinę zbiorów mierzalnych oraz rodzinę zbiorów wypukłych oraz związane z nimi funkcje "ciągłe". Będę wdzięczny za uzupełnienia, tj. wskazanie istotnie różnych rodzin zbiorów i funkcji "ciągłych".

Przypomnę aksjomaty przestrzeni topologicznej. Otóż dany jest zbiór niepusty X oraz jakaś rodzina \tau podzbiorów zbioru X. Rodzinę \tau nazywamy topologią (a elementy tej rodziny zbiorami otwartymi), jeśli spełnione są następujące warunki:

  1. \emptyset,X\in\tau (zbiór pusty oraz cała przestrzeń są zbiorami otwartymi),
  2. jeśli \{A_t:t\in T\}\subset\tau, to \displaystyle\bigcup_{t\in T}A_t\in\tau (suma dowolnej ilości zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym),
  3. jeśli A,B\in\tau, to A\cap B\in\tau. (część wspólna dwóch zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym).

Zbiór X wraz z topologią \tau nazywać będziemy przestrzenią topologiczną.

Dualnym do zbioru otwartego jest pojęcie zbioru domkniętego. Zbiór A\subset X nazywamy domkniętym, jeśli jego dopełnienie A'=X\setminus A jest zbiorem otwartym. W związku z tym rodzina zbiorów domkniętych ma następujące własności:

  1. \emptyset,X są zbiorami domkniętymi,
  2. jeśli zbiory A_t, gdzie t\in T, są domknięte, to \displaystyle\bigcap_{t\in T}A_t jest zbiorem domkniętym,
  3. jeśli A,B są zbiorami domkniętymi, to A\cup B jest zbiorem domkniętym.

W stosunku do warunków 1.,2.,3. warunek 1. jest zachowany, a w warunkach 2. i 3. zamieniają się role sum i części wspólnych. Warunki A, B, C wynikają łatwo z warunków 1,2,3 poprzez definicję zbioru otwartego i prawa de Morgana.

W dalszej części tekstu duże znaczenie będzie miało pojęcie funkcji ciągłej. Niech (X,\tau), (Y,\sigma) będą przestrzeniami topologicznymi. Funkcja f:X\to Y jest ciągła, jeśli przeciwobrazy zbiorów otwartych w Y są zbiorami otwartymi w X (tzn. dla każdego zbioru B\in\sigma mamy f^{-1}(B)=\{x\in X: f(x)\in B\}\in\tau). Równoważnym warunkiem ciągłości jest to, aby przeciwobrazy zbiorów domkniętych były domknięte.

Okazuje się, że wiele rodzin zbiorów ma niektóre własności analogiczne do własności rodzin zbiorów otwartych lub zbiorów domkniętych. W naturalny sposób funkcje o pewnych własnościach naśladują funkcje ciągłe.

Sigma-ciała

Sigma-ciałem podzbiorów zbioru niepustego X jest rodzina \mathfrak{M} spełniająca następujące warunki:

  • \emptyset\in\mathfrak{M},
  • jeśli A\in\mathfrak{M}, to A'\in\mathfrak{M},
  • jeśli \{A_n:n\in\N\}\subset\mathfrak{M}, to \displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\in\mathfrak{M}.

Elementy sigma-ciała będziemy nazywać zbiorami mierzalnymi.

Zauważmy, że w warunku \sigma-3 biorąc rodzinę zbiorów \{A,B,B,\dots\} łatwo otrzymujemy, że jeśli A,B\in\mathfrak{M}, to A\cup B\in\mathfrak{M}. Z kolei łatwo pokazać, że jeśli A,B\in\mathfrak{M}, to A\cap B\in\mathfrak{M}. Istotnie, A\cap B=(A'\cup B')'\in\mathfrak{M} na mocy warunku \sigma-2 oraz wyprowadzonej przed chwilą własności sum skończonych.

Porównamy teraz warunki \sigma-1, \sigma-2, \sigma-3 z warunkami 1,2,3 definiującymi topologię.

  • Trywialnie dopełnieniem zbioru pustego jest cała przestrzeń, więc \emptyset,X są mierzalne.
  • Sumy dowolnie wielu zbiorów mierzalnych nie muszą być mierzalne (tak więc nie zawsze sigma-ciało musi być topologią). Istotnie, jeśli X jest zbiorem nieprzeliczalnym, to rodzina

    \mathfrak{M}=\{A\subset X:A\text{ jest przeliczalny lub }A'\text{ jest przeliczalny}\}

    jest sigma-ciałem. Tak więc singletony, czyli zbiory jednopunktowe, są mierzalne. Jeśli np. X=\RR, to [0,1]=\displaystyle\bigcup_{t\in[0,1]}\{t\} jest sumą nieprzeliczalnie wielu zbiorów mierzalnych, ale nie jest to zbiór mierzalny, bo nie jest przeliczalny, a jego dopełnienie też nie jest przeliczalne.
  • Część wspólna skończenie (a nawet przeliczalnie) wielu zbiorów mierzalnych jest zbiorem mierzalnym.

Analogicznie możemy porównać zbiory mierzalne ze zbiorami domkniętymi. Porównanie to pozostawiam zainteresowanemu Czytelnikowi.

Przypomnę, że funkcja ciągła to taka, że przeciwobrazy zbiorów otwartych są otwarte. Rozważmy teraz zbiór X z sigma-ciałem \mathfrak{M} jego podzbiorów oraz zbiór \RR z sigma-ciałem zbiorów borelowskich, tj. najmniejszym sigma-ciałem zawierającym przedziały otwarte (a,b). Funkcję f:X\to\RR nazywamy mierzalną, jeśli przeciwobraz każdego przedziału (a,b) jest elementem sigma-ciała \mathfrak{M}, tzn. jest mierzalny. Z prostych własności przeciwobrazów wynika, że przeciwobraz każdego zbioru otwartego A\subset\RR poprzez funkcję mierzalną jest mierzalny. Tak więc dochodzimy do warunku równoważnego mierzalności, który jest analogiczny do definicji funkcji ciągłej: przeciwobrazy zbiorów otwartych są mierzalne.

Zbiory wypukłe

Niech teraz X będzie przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych. Zbiór A\subset X jest wypukły, jeśli dla wszystkich x,y\in A odcinek o końcach x oraz y zawiera się w A, tzn.

(x,y\in A\;\wedge\;t\in[0,1])\implies tx+(1-t)y\in A.

Dla przykładu, jeśli X jest przestrzenią unormowaną, kula (obojętnie czy otwarta, czy domknięta) jest zbiorem wypukłym. Istotnie (dla kuli domkniętej), jeśli \|x-a\|\leqslant r oraz \|y-a\|\leqslant r oraz t\in[0,1] to

\begin{gathered}
\bigl\|\bigl(tx+(1-t)y\bigr)-a\bigr\|=\|t(x-a)+(1-t)(y-a)\|\leqslant\\\le t\|x-a\|+(1-t)\|y-a\|\leqslant tr+(1-t)r=r
\end{gathered}

Zbadamy teraz własności rodziny zbiorów wypukłych w kontekście analogicznych własności zbiorów otwartych oraz zbiorów domkniętych.

  • Oczywiście X zawsze jest zbiorem wypukłym, gdyż odcinek o dowolnych końcach x,y\in X jest podzbiorem X. Mniej trywialna jest wypukłość zbioru pustego. Otóż nie istnieją elementy x,y,t spełniające poprzednik implikacji definiującej zbiór wypukły. Tak więc prawdziwość implikacji wynika z fałszywości poprzednika.
  • Łatwo sprawdzić, że część wspólna dowolnie wielu zbiorów wypukłych jest zbiorem wypukłym. Tak więc można by sądzić, że zbiory wypukłe są jakimś analogonem zbiorów domkniętych.
  • Suma nawet dwóch zbiorów wypukłych nie musi być wypukła. Łatwo zobaczyć to na rysunku (np. dwa koła wzajemnie zewnętrzne). Natomiast suma łańcucha zbiorów wypukłych jest zbiorem wypukłym.

    Rodzinę zbiorów \mathcal{L} nazywamy łańcuchem, jeśli dla dowolnych A,B\in\mathcal{L} mamy albo A\subset B, albo B\subset A. Tak więc łańcuch to liniowo uporządkowana (w sensie inkluzji) rodzina zbiorów.

    Niech teraz \{A_i:i\in I\} będzie łańcuchem zbiorów wypukłych oraz A=\displaystyle\bigcup_{i\in I}A_i. Dla x,y\in A mamy x\in A_i oraz y\in A_j dla pewnych i,j\in I. Ale wiemy, że albo A_i\subset A_j, albo A_j\subset A_i. Powiedzmy, że zachodzi ta pierwsza możliwość. Wobec tego x,y\in A_j i na mocy wypukłości tego zbioru wnosimy, że tx+(1-t)y\in A_j dla dowolnego t\in[0,1]. Tak więc tx+(1-t)y\in A. W przypadku A_j\subset A_i rozumujemy analogicznie.

Widzimy więc, że rodzina zbiorów wypukłych nie zawsze jest topologią. Także nie zawsze jest rodziną zbiorów domkniętych w pewnej przestrzeni topologicznej. Zapytajmy jednak, jakie własności ma funkcja ,,naśladująca'' w pewnym sensie funkcję ciągłą. Mianowicie dane są dwie przestrzenie liniowe X,Y, obie nad ciałem liczb rzeczywistych. Przypuśćmy, że mamy funkcję f:X\to Y, która będzie odpowiednikiem funkcji ciągłej. Przeciwobraz każdego zbioru wypukłego A\subset Y powinien więc być wypukły w X.

W roli Y weźmiemy teraz \RR z rodziną zbiorów wypukłych. Można udowodnić, że zbiór A\subset\RR jest wypukły wtedy i tylko wtedy, gdy jest przedziałem (może to być przedział każdego typu). Okazuje się, że funkcja wypukła (wydawałoby się, że naturalny odpowiednik funkcji ciągłej) nie spełnia narzuconego warunku. Np. dla funkcji wypukłej f:\RR\to\RR, f(x)=x^2, mamy

f^{-1}\bigl((1,4)\bigr)=\{x\in\RR:1<x^2<4\}=(-2,-1)\cup(1,2)

nie jest zbiorem wypukłym.

Powróćmy do sytuacji ogólnej. Okazuje się, że za funkcję ,,ciągłą'' można uważać funkcję afiniczną. Funkcja f:X\to Y jest afiniczna, jeśli odwzorowanie x\mapsto f(x)-f(0) jest liniowe. Warunkiem równoważnym jest

f\bigl(tx+(1-t)y\bigr)=tf(x)+(1-t)f(y)

dla wszystkich x,y\in X, t\in[0,1].

Sprawdzimy teraz, że przeciwobraz dowolnego zbioru wypukłego B\in Y jest wypukły w X. Niech x,y\in f^{-1}(B), tzn. f(x),f(y)\in B. Dla t\in[0,1] mamy f\bigl(tx+(1-t)y\bigr)=tf(x)+(1-t)f(y)\in B (bo B jest zbiorem wypukłym. Oznacza to, że tx+(1-t)y\in f^{-1}(B), co dowodzi wypukłości tego zbioru.

Można oczywiście zadać pytanie czy każda funkcja f:X\to Y, dla której przeciwobraz zbioru wypukłego B\subset Y jest zbiorem wypukłym w X, jest już afiniczna. Prostym przykładem świadczącym o odpowiedzi negatywnej jest funkcja f:\RR\to\RR, f(x)=x^3 (także każda funkcja monotoniczna f:\RR\to\RR różna od funkcji afinicznej, tzn. liniowej w sensie szkolnym).
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Miara Lebesgue'a - mierzalność zbiorów  sereq  3
 Równość zbiorów - zadanie 3  Rambos_pl  6
 Suma zbiorów i Iloczyn zbiorów  lamsi  1
 skończona suma zbiorów zwartych  majewa888  3
 Para uporządkowana i iloczyn kartezjański zbiorów  kamipia  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com