szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 lut 2013, o 19:19 
Użytkownik

Posty: 7
Lokalizacja: Prowincja
Dzień dobry!
Wymyśliłem sobie takie zadanie:
Dwie kule o równych promieniach r, z których jedna ma masę m, a druga M, wiszą w przestrzeni w odległości R od siebie. Jedyne siły, które działają na kule, to ich wzajemne przyciąganie grawitacyjne. Prędkość tych kul w chwili t=0 jest zerowa. Ile czasu upłynie od tej chwili do zderzenia kul?
Próbowałem to obliczyć w ten sposób:
v - prędkość kuli o masie m
V - prędkość kuli o masie M
G - stała grawitacji
s - droga kuli o masie m
Z zasady zachowania pędu:
mv=MV  \Leftrightarrow V=\frac{m}{M}v
Z zasady zachowania energii:
\frac{mv^{2}}{2} + \frac{MV^{2}}{2} = {\frac{ - GMm}{R} - \frac{-GMm}{R - s - \frac{m}{M}s}
Podstawiamy V:
\frac{mv^{2}}{2} + \frac{M\frac{m^{2}}{M^{2}}v^{2}}{2} = {\frac{-GMm}{R} - \frac{-GMm}{R - s - \frac{m}{M}s}
Wyznaczamy v:
v = \sqrt{\frac{4GMs}{R^{2} - Rs(1 + \frac{m}{M})}}
Nie jestem pewien sensu następnego kroku. Odwracamy v(s) by uzyskać pochodną funkcji t(s):
t'(s)=\sqrt{\frac{R^{2}-Rs(1+\frac{m}{M})}{4GMs}}
Całkujemy to i do otrzymanej funkcji t(s) wstawiamy jako argument s=\frac{M}{m+M}(R-2r).
Czy to poprawne rozumowanie? Czy ktoś mógłby je potwierdzić, wytknąć ewentualne błędy i podać rozwiązanie? Zastrzegam, że nie mam zielonego pojęcia o wyższej matematyce. Z góry dziękuję za pomoc.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 26 lut 2013, o 21:45 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 3040
Lokalizacja: Warszawa
F=ma i nic więcej.

Nie ma po co korzystać z zasady zachowania energii i pędu - bo to ci da tylko prędkości końcowe, czasu z tego nie uzyskasz. Musisz znaleźć zależność odległości kul od siebie w funkcji czasu. Najlepiej jedną kulę unieruchomić. Ale generalnie do rozwiązania potrzebna jest znajomość podstaw analizy.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 lut 2013, o 16:45 
Użytkownik

Posty: 7
Lokalizacja: Prowincja
Jeśli mamy użyć zależności F=ma, to i tak otrzymamy jedynie zależność przyspieszenia od drogi, bo siła w tym przypadku zależy od drogi. A uzyskanie funkcji czasu z a(s) jest chyba bardziej skomplikowane od otrzymania jej z v(s), a przynajmniej mi się tak wydaje.
A zasady zachowania energii i pędu dają mi właśnie zależność prędkości od drogi.
Nie widzę błędów w części z zasadą zachowania energii. Jeśli chodzi o tę operację:
v(s) = \sqrt{\frac{4GMs}{R^{2} - Rs(1 + \frac{m}{M})}} \Leftrightarrow t'(s)=\sqrt{\frac{R^{2}-Rs(1+\frac{m}{M})}{4GMs}}, to chyba coś takiego jest poprawne, bo v(s) jest wartością pochodnej s(t) i jest różnowartościowe. Dobrze myślę?
Ponawiam pytanie: co jest nie tak z moim rozumowaniem?
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 28 lut 2013, o 17:07 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 3040
Lokalizacja: Warszawa
Ok.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 lut 2013, o 21:16 
Użytkownik

Posty: 7
Lokalizacja: Prowincja
Oj tam, oj tam. Do całkowania można zaprząc komputer. To i tak ostatni krok. Chodzi mi o samo równanie. Dzięki za poświęcenie czasu. No, czy ktoś jeszcze mógłby się odezwać? Wolałbym mieć potwierdzenie z kilku źródeł.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Siła oddziaływania grawitacyjnego  Magenta  2
 Stała grawitacji na dwóch planetach  fields  4
 Równowaga sił grawitacji Ziemi i Księżyca  Cypcher  1
 siła sprężysta  RedAngel  2
 zadanka z grawitacji  qul  7
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl