szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 28 lut 2013, o 14:01 
Użytkownik

Posty: 76
Lokalizacja: Warszawa
Hej, mam zadanie:
Narysuj i zapisz wzorem otoczenie punktu P_0(-1,4;1,4) zawarte w dziedzinie naturalnej funkcji f(x,y)=\ln(4-x ^{2}-y ^{2})

Wyznaczyłam dziedzinę;
4-x ^{2}-y ^{2} >0
będzie to okrąg o środku w punkcie S(0,0) i promieniu r=2
i teraz wiem że to otoczenie to d(P_0P)<r
i teraz nie wiem co przyjąć za promień, czy ta wartość z dziedziny czy jakaś inna wartość

Gdy przyjęłam ten promień równy 2 to otrzymałam równanie okręgu o środku w punkcie S(-1,4;1,4) i promieniu 2.
Proszę o pomoc.
Z góry dziękuję za odpowiedź.
Pozdrawiam :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 lut 2013, o 14:54 
Moderator

Posty: 4439
Lokalizacja: Łódź
Dziedziną funkcji jest koło bez brzegu, a nie okrąg.

Otoczenie punktu musi być mniejsze (koło o promieniu 2 jest stanowczo za duże, bo należy zadbać, by zmieściło się w dziedzinie funkcji - punkt P_0 leży dość blisko brzegu).

Pytanie, które się nasuwa, to jak blisko brzegu dziedziny funkcji leży punkt P_0. Trzeba obliczyć odległość punktu P_0 od okręgu o równaniu x^2+y^2=4.
Okrąg ten można łatwo sparametryzować: x=2\cos t, y=2\sin t dla t\in\langle 0,2\pi). Należy zatem wyznaczyć takie t, by odległość punktów P_0 i (2\cos t, 2\sin t) była możliwie najmniejsza. Wystarczy rozważyć tak naprawdę kwadrat tej odległości.

Mamy d^2\left(P_0,(2\cos t,2\sin t)\right)=(2\cos t+1,4)^2+(2\sin t-1,4)^2=5,6(\cos t-\sin t)+7,92.
Rozważ zatem funkcję g(t)=\cos t-\sin t dla t\in\langle 0,2\pi) i wyznacz t, dla którego g(t) osiąga wartość najmniejszą. Dla znalezionego t oblicz wartość d^2\left(P_0,(2\cos t,2\sin t)\right). Będzie to kwadrat długości promienia koła stanowiącego otoczenie punktu P_0.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 3 mar 2013, o 23:44 
Użytkownik

Posty: 76
Lokalizacja: Warszawa
Otrzymałam g(x)=2\sin \left( t+  \frac{\pi}{6} \right)
Najmniejsza wartość -2. I tu problem bo ujemna wartość.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 4 mar 2013, o 11:48 
Moderator

Posty: 4439
Lokalizacja: Łódź
g(t)=\cos t-\cos\left(\frac{\pi}{2}-t\right)=-2\sin\frac{t+\frac{\pi}{2}-t}{2}\sin\frac{t-\frac{\pi}{2}+t}{2}=-2\sin\frac{\pi}{4}\sin\left(t-\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\sin\left(\frac{\pi}{4}-t\right)

Najmniejsza wartość funkcji g jest osiągana dla t=\frac{3}{4}\pi i wynosi -\sqrt{2}. Jest ona ujemna, ale to nie przeszkadza w tym, by funkcja kwadratu odległości określona przed funkcją g przyjmowała wartość dodatnią (co prawda dość bliską zeru).
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 5 mar 2013, o 00:09 
Użytkownik

Posty: 76
Lokalizacja: Warszawa
Jak się okazało nie trzeba było tak kombinować, promień był 0,04 tego koła o środku w Po. z tw. pitagoraca, co znacznie ułatwiło rozwiązanie. Dziękuję za okazaną pomoc :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 odległość punktu A od B  mycha-mycha1  5
 rzedna punktu p  niekumataGeo  1
 Wyznaczyć współrzędne punktu F  S1nner  0
 Dla jakich wartości... oraz znajdź odległośc punktu od....  paczek535  1
 Czworokąt i jego odbicie symetryczne względem punktu  Lubie Cie  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl