szukanie zaawansowane
 [ Posty: 9 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 mar 2013, o 22:59 
Użytkownik

Posty: 844
Lokalizacja: Wrocław
Chcę udowodnić, że norma euklidesowa jest normą. Niezdegenerowanie i jednorodność nie stanowią problemu. Problemem natomiast jest dowód, że

\left| \left| x + y \right| \right|  \le \left| \left| x \right| \right| + \left| \left| y \right| \right|

gdzie x,y \in R^N

W jaki sposób ten dowód przeprowadzić?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 mar 2013, o 23:05 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18500
Lokalizacja: Cieszyn
Nierówność Minkowskiego.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 mar 2013, o 23:28 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 12737
Lokalizacja: Kraków
Bez nierówności Minkowskiego, ale za to z nierówności Schwarza - podnieść obie strony badanej nierówności do kwadratu.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 mar 2013, o 23:47 
Użytkownik

Posty: 844
Lokalizacja: Wrocław
Nierówność Minkowskiego to jasne jak zrobić. Natomiast zastanawia mnie Schwarz (pokażę ten moment, w którym jest problem bez wcześniejszych obliczeń):

\left| \left| x + y \right| \right| \le \left| \left| x \right| \right| + \left| \left| y \right| \right|

\left| \left| x + y \right| \right|^2 \le  \sum_{d=1}^D x_d^2 + 2\left( \sum_{d=1}^D x_d^2 \right) \left( \sum_{d=1}^D y_d^2 \right) + \sum_{d=1}^D y_d^2 = \left| \left| x \right| \right|^2 + 2  \left| \left| x \right| \right|^2 \left| \left| y \right| \right|^2 + \left| \left| y \right| \right|^2

I problem jest w środkowym czynniku, że są tam te kwadraty. Gdyby było \left| \left| x \right| \right|^2 + 2  \left| \left| x \right| \right| \left| \left| y \right| \right| + \left| \left| y \right| \right|^2 = \left( \left| \left| x \right| \right| \right + \left| \left| y \right| \right| )^2 to by wszystko jak widać grało. Co więc zrobić z tamtymi "zbędnymi" kwadratami?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 mar 2013, o 23:55 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 12737
Lokalizacja: Kraków
Nie wiem, na ile jest to dla Ciebie widoczne, ale

||x+y||^2=||x||^2+||y||^2+2|\langle x,y\rangle|\leq ||x||^2+||y||^2+2||x||||y||=(||x||+||y||)^2

przy czym nierówność bierze się właśnie ze Schwarza. A nią samą można wyprowadzić elementarnie badając wyróżnik wielomianu

f(t)=\sum_i (t|x_i|+|y_i|)^2

W razie potrzeby więcej szczegółów dopiero za około 12h.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 mar 2013, o 09:55 
Użytkownik

Posty: 844
Lokalizacja: Wrocław
Ok, już wiem jak to ma być. Dzięki!
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 mar 2013, o 19:56 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18500
Lokalizacja: Cieszyn
W pierwszym momencie też chciałem pisać o Schwarzu. :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 mar 2013, o 20:12 
Użytkownik

Posty: 844
Lokalizacja: Wrocław
Nierówności nigdy za wiele, dopóki są przydatne ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 mar 2013, o 20:17 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 12737
Lokalizacja: Kraków
Zaproponowałem alternatywę ze Schwarzem dlatego, że jest bardziej elementarny i klasyczny. Nierówność Minkowskiego według mnie ma zbyt trikowy dowód, a Schwarz wychodzi z funkcji kwadratowej albo prostych rozważań iloczynu skalarnego.

Co kto lubi :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 9 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Czym jest zbiór pkt. płaszczyzny spełniających równan  Anonymous  5
 Wyznaczyć wart. param. dla których ukł. jest l. niezaleĹ  Anonymous  2
 Wyznacz wart. param. dla których ukł. jest liniowo zależ  Anonymous  3
 Czym jest zbiór punktów sfery znajdujących się między  Anonymous  1
 Sprawdź, czy trójkąt równoramienny jest ostrokątny  Ewcia  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl