szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 mar 2013, o 18:31 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: śląsk
Witam mam problem z wyznaczeniem funkcji tworzącej do zadania z kolorowaniem trójkątów, doszedłem w nim do wzoru :
A _{0}= 0;  
 A _{1}= 1; 
 A_{k}  = A_{k-1}  + k^{2}  - k + 1

Jestem informatykiem i niestety nie mam bladego pojęcia jak się za to zabrać:(

treść zadania pewnie wam się nie przyda ale dołączam:
Dany jest trójkąt równoboczny
którego wszystkie trzy wierzchołki należy pokolorowac. Dwa kolorowania uwazamy
za jednakowe, jesli mozemy jedno z nich otrzymac z drugiego za pomoca
odpowiedniego obrotu trójkąta.
(*) Ile jest róznych sposobów pokolorowania wierzchołków naszego trójkata
przy uzyciu niektórych badz wszystkich sposród danych k kolorów?

Proszę o pomoc

WolframAlfa podpowiada że rozwiązaniem jest F_{k}=  \frac{1}{3}  \cdot  k(k^{2} + 2) ale niestety potrzebuję wiedzieć kolejno jak do tego dojść:)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 mar 2013, o 22:16 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Co do zadania - być może zainteresuje Cię wątek: 330353.htm

Co do wzoru rekurencyjnego - można użyć metody przewidywań (najszybciej), metody funkcji tworzących, metody repertuaru (wszystkie omówione w książce Matematyka konkretna), można też zsumować stronami równości:
A_{k} - A_{k-1} = k^{2} - k + 1
po k od 1 do n, po lewej stronie większość się skróci i otrzymamy:
A_n-A_0= \sum_{k=1}^n(k^{2} - k + 1)
a wzory na sumy potęg są znane, a jeśli nie są to łatwo się wyprowadza (np. metodą zaburzania lub rachunku różnicowego).

Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 mar 2013, o 20:17 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: śląsk
próbowałem to rozwiązać proponowanymi zaburzeniami sum, niestety wynik się nie zgadza. Gdzie popełniłem błąd?
A _{n} -A _{0} =  \sum_{k=1}^{n} (k^2 -k +1) =  \sum_{k=0}^{n} ((k+1)^2-(k+1)+1)=
  \sum_{0}^{n} k^2 +  \sum_{0}^{n} k +  \sum_{0}^{n} 1=
  \frac{ k(k+1)(2k+1)}{ 6} +  \frac{k(k+1)}{2} + k + 1 =  
  \frac{1}{3} ( k( k^2+3k+5) + 3 )

a powinno wyjść : F_{k}= \frac{1}{3} \cdot k(k^{2} + 2)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 mar 2013, o 20:41 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Jeśli chodzi o metodę zaburzania, to stosujesz ją nieprawidłowo.

Prawidłowy rachunek (przy założeniu, że znamy sumy potęg) to:
A_n-A_0= \sum_{k=1}^n(k^{2} - k + 1)= \sum_{k=1}^nk^{2} - \sum_{k=1}^nk +\sum_{k=1}^n1=\\ = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - \frac{n(n+1)}{2} +n
i wtedy wyjdzie tyle ile powinno.

Jeśli zaś nie znamy sumy potęg \sum_{k=1}^nk^{2} i \sum_{k=1}^nk, to można je policzyć metodą zaburzania, tak jak w linkowanym wątku (akurat obie te sumy są tam policzone).

Q.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 25 maja 2015, o 18:19 
Użytkownik

Posty: 3
Lokalizacja: Wrocław
Cześć wszystkim, mogłabym otrzymać informację w jaki sposób został otrzymany ten wzór:
A _{0}= 0; A _{1}= 1; A_{k} = A_{k-1} + k^{2} - k + 1

Karolina :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wzór rekurencyjny, funkcja tworząca - zadanie 2  Karo92lina  2
 Wariacje z powtorzeniami : wzor  hipero  3
 Ile monitorów można wybrać ?? jaki wzor?  Anonymous  1
 Ciąg rekurencyjny - zadanie  Arika  1
 [Dyskretna/Kombinacje] Wzór - twierdzenie do udowodnienia  Szczawik  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl