szukanie zaawansowane
 [ Posty: 11 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 mar 2013, o 15:26 
Użytkownik

Posty: 22
Lokalizacja: Warszawa
Znaleźć równanie normalne płaszczyzny przechodzącej przez p=(1,-3,2) i zawierającą prostą o równaniach krawędziowych \begin{cases} 3x-y+2z+1=0 \\ x-3y+z=0 \end{cases}. Największe problemy mam z tym podwójnym równaniem krawędziowym , co to oznacza?
bo w sumie to w tym wzorze jest już chyba zawarta odpowiedź
Jeśli dana jest prosta l w postaci krawędziowej:
\begin{cases}A_1x + B_1y + C_1y + D_1 = 0	  \\ A_2x + B_2y + C_2y + D_2 = 0 \end{cases}
to pęk płaszczyzn przechodzących przez tę prostą wyraża się wzorem: A_1x + B_1y + C_1y + D_1 + k(A_2x + B_2y + C_2y + D_2) = 0
Prosiłbym chociaż o drobne podpowiedzi.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 mar 2013, o 18:11 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 80
Lokalizacja: 3city
Postać krawędziowa prostej, jak zauważyłeś zawiera równania dwóch płaszczyzn (w twoim przypadku są to płaszczyzny \pi_1:3x-y+2z+1=0 i \pi_2:x-3y+z=0). Prosta zadawana przez tę postać jest przecięciem tych płaszczyzn. Dość intuicyjne.

A co do twojego zadania: Jak zwykle przy tego typu przykładach rozwiązań jest mnóstwo, chociażby przez twój pęk płaszczyzn, ale ja nigdy nie lubiłem się w to bawić, więc moje rozwiązanie byłoby takie:
1. Znalazłbym wektor kierunkowy twojej prostej - czyli równoległy do niej, a co za tym idzie - wektor równoległy do szukanej płaszczyzny
Ukryta treść:    

2. Znalazłbym dowolny punkt p_1 należący do zadanej prostej (a co za tym idzie - również do płaszczyzny)
Ukryta treść:    

3. Teraz miałbym dwa punkty p i p_1 oraz wektor \vec{N}. Wyprodukowałbym jeszcze jeden wektor \vec{N_1} zaczepiony między punktami p i p_1.
Ukryta treść:    

4. W efekcie miałbym dwa wektory które są równoległe do twojej poszukiwanej płaszczyzny.
Ukryta treść:    

5. Iloczyn wektorowy między powyższymi wektorami byłby wektorem prostopadłym do jednego i do drugiego - czyli prostopadłym do płaszczyzny. Otrzymałbyś zatem wektor normalny szukanej płaszczyzny.
Ukryta treść:    

6. Mając wektor normalny i punkt - masz już wszystko czego potrzebujesz do stworzenia równania szukanej płaszczyzny :)

I koniec zadania :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 mar 2013, o 21:20 
Użytkownik

Posty: 22
Lokalizacja: Warszawa
a można wyznaczyć dowolne dwa punkty na prostej i po prostu znaleźć równanie przechodzące przez 3 punkty ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 mar 2013, o 21:25 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Rozwiązanie jest natychmiastowe - każda płaszczyzna zawierająca podaną prostą ma równanie postaci:
3x-y+2z+1+k\cdot ( x-3y+z)=0 (dla pewnego k)
Z tego pęku płaszczyzn wybieramy tę, która zawiera punkt (1,-3,2) - wystarczy więc sprawdzić dla jakiego k ten punkt spełnia powyższe równanie.

Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 mar 2013, o 22:04 
Użytkownik

Posty: 22
Lokalizacja: Warszawa
dla k=- \frac{11}{12} jednak nie wychodzi mi z tego płaszczyzna przecinająca nasz punkt.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 mar 2013, o 22:08 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Zastanów się dobrze - dobierasz k w ten sposób, żeby punkt spełniał to równanie, a następnie stwierdzasz, że dla dobranego k punkt nie spełnia równania? Nie wydaje Ci się to zupełnie bez sensu?

Sprawdź jeszcze raz swoje rachunki.

Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 mar 2013, o 22:21 
Użytkownik

Posty: 22
Lokalizacja: Warszawa
Tak , mój błąd, dzięki. Istnieje tylko jedna taka płaszczyzna ? Jak sprawdzić czy ta prosta należy do tej płaszczyzny ? Czy to co napisałem wcześniej o tych 3 punktach jest błędem ? Te pytania zadałem dlatego bo że tym moim sposobem wyszła płaszczyzna x=1 co chyba jest prawdą.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 mar 2013, o 01:19 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Jeśli punkt nie należy do prostej (a tu nie należy), to owszem: prosta i punkt jednoznacznie wyznaczają płaszczyznę.

Oczywiście nie ma potrzeby sprawdzać czy dana prosta należy do znalezionej płaszczyzny, bo przecież wybraliśmy ją z pęku płaszczyzn zawierających tę prostą.

Oczywiście też można było wyznaczyć dwa dowolne punkty prostej i mając trzy punkty wyznaczyć równanie płaszczyzny, ale to zajmuje dużo więcej czasu. Wynik wychodzi jednak dokładnie taki sam.

Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 mar 2013, o 11:03 
Użytkownik

Posty: 22
Lokalizacja: Warszawa
Może rozwiązałeś te zadanie? jak tak mógłbyś podać równanie tej płaszczyzny ? czy punkty p=(1,61), (1,1,2) chyba nie bo powinny spełniać oba równania prostej ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 mar 2013, o 13:13 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Ale w czym jest problem? Jeśli znajdziesz prawidłowe k, to wystarczy wstawić to k do równania pęku płaszczyzn i uporządkować - otrzymasz wtedy równanie szukanej płaszczyzny.

A pytania o punkty nie zrozumiałem, zapomniałeś użyć jakiegoś czasownika.

Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 mar 2013, o 17:40 
Użytkownik

Posty: 22
Lokalizacja: Warszawa
tak zapomniałem napisać : należą.
Równanie płaszczyzny znalazłem \frac{25}{12}x+ \frac{21}{12}y+ \frac{13}{12}z+1
Te wszystkie pytania zadaję by rozwiać wątpliwości.

-- 14 mar 2013, o 14:26 --

możesz rozwiać moją ostatnią wątpliwość czy te punkty co wyżej napisałem należą do tej prostej ?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 11 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Znajdź równanie ogólnej stycznej i stycznych do okręgu  Anonymous  2
 Wyznacz punkt przecięcia się prostej z okręgiem  Anonymous  5
 Czym jest zbiór pkt. płaszczyzny spełniających równan  Anonymous  5
 Znajdz równanie prostej stycznej do okręgu  Anonymous  8
 Równanie prostej przechodzącej przez 2 punkty  mnk  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl