szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 mar 2013, o 17:26 
Użytkownik

Posty: 752
Lokalizacja: Warszawa
Są to 2 zadania ze zbioru W.Sierpińskiego z działu o podzielności, mianowicie :
1.
Wykaż że jeśli 7|a^2 + b^2 gdzie a i b są liczbami całkowitymi, to 7|a i 7|b.
Idea mojego rozwiązania polega na tym że aby suma kwadratów tych liczb była podzielna przez 7 to reszty z dzielenia 7|a^2 i 7|b^2 powinny zsumować się do liczby która jest podzielna przez 7.A wiadomo że z własności x|y wynika własność x|y^2 - stąd patrząc na kwadraty reszt z dzielenia przez 7 otrzymałem liczby 0,1,2,4,. Sumując dowolne dwie liczby z pośród tego zbioru nie da się po zsumowaniu uzyskać liczby podzielnej przez 7, a zatem aby zachodził warunek z polecenia , musi zachodzić 7|a i 7|b c.k.d.

2.Dowieść że istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych n, dla których liczba 4n^2 + 1 jest podzielna jednocześnie przez 5 i przez 13.

Patrząc na kwadraty reszt z podzielności 4n^2 + 1 przez 5 i przez 13 dla dowolnego n należącego do N zauważymy że da się w obu przypadkach otrzymać resztę 0, co jest główną ideą dowodu.

Prosiłbym o sprawdzenie pomysłów powyżej przez kogoś kompetentnego :P
A co do zad 2. , znalazłby się jakiś inny sposób na rozwiązanie ? :P
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 14 mar 2013, o 18:07 
Użytkownik

Posty: 1278
Milczek napisał(a):
A co do zad 2.
Weźmy n=65k+4,\ k\in\mathbb{N}_0
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 mar 2013, o 18:14 
Gość Specjalny

Posty: 3010
Lokalizacja: Gołąb
Pierwsze bardzo dobrze, drugie nie za bardzo. Najlepiej podaj przykład liczb które spełniają tą zależność, np n=65k+4 spełniają tą zależność.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 (3 zadania) Wykaż, że liczby są podzielne przez ...  Anonymous  5
 (4 zadania) Sprawdz podzielność wyrażenia  Anonymous  3
 (4 zadania) Sprawdz podzielność liczb przez 10  Anonymous  4
 (3 zadania) Udowodnić podzielność przez 9. Wykazać, że  basia  2
 Dowód na poprawność zasady podzielności przez 9  magik100  12
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl