szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2013, o 16:59 
Użytkownik

Posty: 251
Lokalizacja: Great Plains
Wykazać, że jeśli n \in \mathbb{N}, to liczba

\frac{n^{19}}{19}+\frac{n^{18}}{2}+\frac{3n^{17}}{2}-\frac{34n^{15}}{5}+34n^{13}-\frac{663n^{11}}{5}+ \frac{1105n^9}{3}-\frac{23494n^7}{35}+714n^5-\frac{3617n^3}{10}+\frac{{43867n}}{798}

jest naturalna.


Jak to w miarę zwięźle pokazać?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2013, o 17:39 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2909
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Patrząc na to możemy zauważyć, że można by spróbować pokazać, że jest to suma którychś potęg liczb naturalnych od 1 do n, a skoro jest to wielomian stopnia 19, to narzuca się popatrzeć na \sum_{i=1}^{n} i^{18} co istotnie jest naszym wyrażeniem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 mar 2013, o 17:47 
Użytkownik

Posty: 251
Lokalizacja: Great Plains
W sumie wystarczy, że działa - dzięki. :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 mar 2013, o 14:28 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 2226
Lokalizacja: Warszawa
A dla ludzi nie znających wzoru na \sum_{i=1}^{n}i^{18}:
\frac{n^{19}}{19}+\frac{n^{18}}{2}+\frac{3n^{17}}{2}-\frac{34n^{15}}{5}+34n^{13}-\frac{663n^{11}}{5}+ \frac{1105n^9}{3}-\frac{23494n^7}{35}+714n^5-\frac{3617n^3}{10}+\frac{{43867n}}{798} \in \NN  \Longleftrightarrow

\frac{n^{19}}{19}+\frac{n^{18}}{2}+\frac{3n^{17}}{2}-\frac{34n^{15}}{5}-\frac{663n^{11}}{5}+ \frac{1105n^9}{3}-\frac{23494n^7}{35}-\frac{3617n^3}{10}+\frac{{43867n}}{798}\in\NN
Korzystając z \mathbb{MTF}, oraz z n, \ a \in \ZZ_{+}  \Rightarrow n^{a} \equiv n \pmod{2}
\frac{n^{19}}{19}=\frac{n^{19}-n+n}{19} \in \NN  \Leftrightarrow \frac{n}{19} \in \NN \\ 
\frac{n^{18}}{2}=\frac{n^{18}-n+n}{2}\in\NN\Leftrightarrow \frac{n}{2} \in \NN \\ 
\frac{3n^{17}}{2}=\frac{3n^{17}-3n+3n}{2} \in \NN  \Leftrightarrow \frac{3n}{2}\in\NN\Leftrightarrow \frac{n}{2}\in\NN\\
\frac{34n^{15}}{5}=\frac{34n^{15}-34n^{3}+34n^{3}}{5}\in\NN\Leftrightarrow\frac{34n^{3}}{5}\in\NN \Leftrightarrow \frac{4n^{3}}{5}\in\NN\\
\frac{663n^{11}}{5}=\frac{663n\left(n^{10}-n^{2}+n^{2}\right)}{5}\in\NN\Leftrightarrow\frac{663n^{3}}{5}\in\NN\Leftrightarrow\frac{3n^{3}}{5}\in\NN\\
\frac{1105n^{9}}{3}=\frac{1105n^{9}-1105n^{3}+1105n^{3}-1105n+1105n}{3}\in\NN \Leftrightarrow \frac{1105n}{3}\in\NN \Leftrightarrow \frac{n}{3}\in\NN\\
\frac{23494n^{7}}{35}\in\NN\Leftrightarrow\frac{9n^{7}}{35}\in\NN\\
\frac{3617n^{3}}{10}\in\NN\Leftrightarrow\frac{7n^{3}}{10}\in\NN\\
\frac{{43867n}}{798}\in\NN\Leftrightarrow\frac{-23n}{798}\in\NN

\frac{n^{19}}{19}+\frac{n^{18}}{2}+\frac{3n^{17}}{2}-\frac{34n^{15}}{5}-\frac{663n^{11}}{5}+ \frac{1105n^9}{3}-\frac{23494n^7}{35}-\frac{3617n^3}{10}+\frac{{43867n}}{798}\in\NN\\ \\ \Longleftrightarrow\\ \\
\frac{n}{19}+\frac{n}{2}-\frac{n}{2}-\frac{4n^{3}}{5}-\frac{3n^{3}}{5}+\frac{n}{3}-\frac{9n^{7}}{35}-\frac{7n^{3}}{10}-\frac{23n}{798}\in\NN\\ \\ \Longleftrightarrow \\ \\
\frac{n}{19}-\frac{n^{3}}{10}+\frac{n}{3}-\frac{9n^{7}}{35}-\frac{23n}{798}\in\NN \\ \\ \Longleftrightarrow \frac{n\left(18n^{6}+7n^{2}-25\right)}{70}\in\NN\\
n\left(18n^{6}+7n^{2}-25\right)\equiv n\left(18n+7n-25\right)\equiv25n\left(n-1\right)\equiv 0 \pmod{2}\\
n\left(18n^{6}+7n^{2}-25\right)=n\left(18n\left(n^{5}-n+n\right)+7n^{2}-25\right)\equiv 0 \pmod{5} \\ 
7\mid n  \Rightarrow n\left(18n^{6}+7n^{2}-25\right)\equiv 0 \pmod{7} \\ 
7 \nmid n  \Rightarrow n\left(18n^{6}+7n^{2}-25\right)\equiv n\left(18+7n^{2}-25\right)\equiv 0 \pmod{7}
a ponieważ \left(2, \ 5 \right)=\left( 2, \ 7\right)=\left( 5, \ 7\right)=1
to dowód został zakończony. No prawie zakończony, bo tak naprawdę to pokazałem, że to jest całkowite, a nie naturalne, ale to już chyba drobiazg.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 mar 2013, o 22:53 
Użytkownik

Posty: 251
Lokalizacja: Great Plains
Dzięki wielkie Ponewor - dopiero teraz zauważyłem, że napisałeś, fajny sposób. :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Sprawdz czy liczba jest złożona  Anonymous  6
 Czy podana liczba jest różnicą kwadratów 2 liczb calko  pennywise  1
 Udowodnić, że liczba jest niewymierna - zadanie 4  Anonymous  11
 (3 zadania) Udowodnić podzielność przez 9. Wykazać, że  basia  2
 Wykaż, że liczba jest podzielna przez 33  Anonymous  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl