szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 mar 2013, o 19:16 
Moderator

Posty: 1937
Lokalizacja: Trzebiatów
Witam !
Mam zadanie typu :
Udowodnij, jeżeli
a^{3} + b ^{3} = c ^{3} \Leftrightarrow gdy są to długości trójkąta ostrokątnego.
Pozdrawiam
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 mar 2013, o 19:19 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 3454
Lokalizacja: Warszawa
To nie jest prawda.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 mar 2013, o 20:10 
Moderator

Posty: 1937
Lokalizacja: Trzebiatów
Mhma ^{3} + b ^{3} - c ^{3}Mają spełniać taką równość :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 mar 2013, o 20:35 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 3454
Lokalizacja: Warszawa
Napisz po prostu całą treść zadania.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 mar 2013, o 20:45 
Moderator

Posty: 1937
Lokalizacja: Trzebiatów
Wykaż, że jeżeli liczby dodatnie a,b,c spełniają równość a ^{3} + b ^{3} - c ^{3} , to są one długościami boków trójkąta ostrokątnego.
Pozdrawiam.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 mar 2013, o 18:55 
Użytkownik

Posty: 5105
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Zakładam, że zachodzi równość a^3+b^3=c^3, gdzie a,b,c>0. Wtedy c jest największą spośród liczb a,b,c.

Funkcja x\mapsto x^{\frac32} jest ściśle wypukła na przedziale [0,+\infty). Zatem funkcja f(x)=x^{\frac32}+(a^2+b^2-x)^{\frac32} jest ściśle wypukła na przedziale [0,a^2+b^2]. Zatem dla x\in(0,a^2+b^2) mamy nierówność f(x)<\max(f(0),f(a^2+b^2))=(a^2+b^2)^{\frac32}. Podstawiając x=a^2 dostajemy a^3+b^3<(a^2+b^2)^\frac32, czyli c^2<a^2+b^2. Oznacza to, że liczby a,b,c są długościami boków trójkąta, i to ostrokątnego.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 mar 2013, o 19:14 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2909
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Wystarczy zauważyć, że 1 = (\frac{a}{c})^3+(\frac{b}{c})^3 < (\frac{a}{c})^2+(\frac{b}{c})^2 \Rightarrow c^2 < a^2+b^2
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 mar 2013, o 19:47 
Użytkownik

Posty: 5105
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Rzeczywiście tak jest prościej. Nie pomyślałem o tym.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Udowodnij, że prosta dzieli kąt na pół  l153k  7
 Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym - zadanie 2  teshnorka  1
 W trójkącie ABC...  yubinka  1
 Udowodnij nierówność dla dowolnego trójkąta  brolly  2
 Prostokąty zbudowane na trójkącie  Ruahyin  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl