szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 mar 2013, o 10:33 
Użytkownik

Posty: 100
Witam! Mam taką nierówność:
\frac{-(5-x)}{3+2x}  \le 10

I chciałbym prosić o sprawdzenie czy została ona rozwiązana prawidłowo.


1.Dziedzina nierówności:
3+2x  \neq 0
2x \neq -3 \ \ \ \ |:2
x \neq - \frac{3}{2}


2.Rozwiązanie:

\frac{-5+x}{3+2x}  \le 10

\frac{-5+x}{3+2x}  \le 10 \ \ \ \ | \cdot (3+2x)

(3+2x)  \cdot   \frac{-5+x}{3+2x}  \le 10  \cdot  (3+2x)

-5+x \le 30+20x

x-20x \le 30+5

-19x \le 35 \ \ \ \  |:(-19)

I teraz zmieniamy znak nierówności na przeciwny, ponieważ dzielę obie strony przez liczbę ujemną.

x \ge - \frac{35}{19}

Czyli x \in \langle -\frac{35}{19},+ \infty ) .

Obrazek



I teraz mam jeszcze jedno pytanie. Otóż dlaczego WolframAlpha przedstawia takie rozwiązanie:

Obrazek

Adres www: http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 ... 29%3C%3D10

Odpowiedź zwrócona przez WolframAlpha jest odmienna.

To co ja w takim razie robię źle?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 mar 2013, o 11:21 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 5074
Lokalizacja: Poznań
Robisz błąd w miejscu, w którym mnożysz obustronnie przez mianownik. W nierównościach wymiernych pod żadnym pozorem nie wolno tego robić - z tego względu, że znak wyrażenia 3+2x może być zarówno ujemny, jak i dodatni, stąd nie wiadomo czy należy zmienić znak nierówności czy nie (należałoby rozpatrzyć 2 przypadki).
Nierówności wymierne dużo lepiej i łatwiej rozwiązywać poprzez przeniesienie wyrażenia z prawej strony i sprowadzenie do wspólnego mianownika, a następnie zapisania równoważnej postaci iloczynowej. Spróbuj tak zrobić.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 mar 2013, o 12:51 
Użytkownik

Posty: 100
\frac{-(5-x)}{3+2x}  \le 10
\frac{-5+x}{3+2x}-10 \le 0
\frac{-5+x}{3+2x} - \frac{10}{1}  \le 0
\frac{-5+x-10(3+2x)}{3+2x} \le 0
\frac{-5+x-30-20x}{3+2x}  \le 0

I teraz mnożę obie strony przez mianownik podniesiony do kwadratu.
\frac{-35-19x}{3+2x} \le 0 /*(3+2x)^2

(3+2x)^{2} *  \frac{-35-19x}{3+2x}  \le 0

(3+2x)(-35-19x) \le 0

I teraz rozwiązujemy nierówność kwadratową:

-105-57x-70x-38x^{2}  \le 0
-105-127x-38x^{2} \le 0

Δ =(-127)^{2}-4*(-38)*(-105)=16129-15960=169

x _{1}= \frac{-(-127)- \sqrt{169} }{2*(-38)}= \frac{127-13}{-76}= \frac{114}{-76}= -\frac{3}{2}=-1 \frac{1}{2}
x_{2}=  \frac{-(-127)+ \sqrt{169} }{2*(-38)}= \frac{127+13}{-76} = \frac{140}{-76} =- \frac{35}{19} =-1 \frac{16}{19}


Ponieważ a<0 (a= -38), więc ramiona paraboli są skierowane w dół. Ponieważ mamy nierówność ze znakiem mniejsze lub równe ( \le ), więc w miejscach zerowych zaznaczamy kółka zamalowane - czyli miejsca zerowe należą do przedziałów. I wybieram części mniejsze (części pod osią x).

Obrazek

x \in (- \infty , -\frac{35}{19}>  \cup < -\frac{3}{2},+ \infty )

Ale, z dziedziny funkcji wynika, że:
3+2x \neq 0
2x \neq 3 /:2
x \neq - \frac{3}{2}
Df = R \ {- \frac{3}{2}}

Czyli - \frac{3}{2}, które należy do przedziału x \in (- \infty , -\frac{35}{19}>  \cup < -\frac{3}{2},+ \infty ), trzeba z niego wyłączyć.

x \in (- \infty , -\frac{35}{19}>  \cup < -\frac{3}{2},+ \infty ) \ {-\frac{3}{2} } \Rightarrow x \in (- \infty ,- \frac{35}{19}>  \cup  (- \frac{3}{2}, + \infty )

I z tego mamy: x \le - \frac{35}{19} oraz x> -\frac{3}{2} .

Obrazek


Czy to jest dobrze rozwiązane?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 mar 2013, o 16:15 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 5074
Lokalizacja: Poznań
Owszem, ale niepotrzebnie sobie utrudniłeś zadanie wymnażając nawiasy - z postaci iloczynowej trójmianu kwadratowego bezpośrednio wynika, jakie są pierwiastki (-\frac{35}{19} oraz -\frac{3}{2}). Wynik poprawny.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Nierówność wymierna  judge00  4
 nierówność wymierna - zadanie 2  Torris  8
 nierówność wymierna - zadanie 3  mat1989  7
 Nierownosc wymierna  flippy3d  18
 nierównosć wymierna  mateusz200414  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl