szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 mar 2013, o 20:22 
Użytkownik

Posty: 7
Lokalizacja: poznań
Treść: W trójkącie prostokątnym z wierzchołka kąta prostego poprowadzono wysokość. Uzasadnij że otrzymane trójkąty są podobne. Wiedząc że dłuższa przyprostokątna ma długość 10 a krótszy odcinek na który wysokość podzieliła przeciwprostokątną ma dł. 4,5. Oblicz pole mniejszego z tych trójkątów.

Generalnie geometria analityczna to dla mnie magia. Niby wiem jak sporządzić rysunek ale nie wiem co dalej. Gdyby jeszcze szlo zastosować Pitagorasa ale nie da sie... Ani własnosci z odcinkami w trójkącie bo to bylo przy kole... tak ze kompletnie nie wiem co robić. Proszę o rozwiązanie i jak dałoby rade to z rysunkiem. Chce pojąć to. A tak nawiasem to wydaje mi się ze tą "wysokość" oznaczyć mozna jako X i poźniej mozna zrobić \frac{4,5}{x} =  \frac{\cos }{\cos } ? I nie wiem z czego ma sie składac 2 cześć proporcji. Czekam na odpowiedź.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 mar 2013, o 21:53 
Użytkownik

Posty: 200
Lokalizacja: Wrocław
skorzystaj z tego, że wysokość opuszczona na przeciwprostokątną dzieli trójkąt na dwa trójkąty podobne do samych siebie jak i do trójkata wyjściowego.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 mar 2013, o 08:38 
Użytkownik

Posty: 3
Lokalizacja: Wrocław
Opiszmy nasz trójkąt w następujący sposób:
b to dłuższa przyprostokątna równa 10,
a to krótsza przyprostokątna,
c to przeciwprostokątna pierwotnego trójkąta i jest równa sumie y + x, gdzie y = 4,5,
h to wysokość trójkąta pierwotnego.
\alpha to kąt między bokami b i c
\beta to kąt miedzy bokami a i c
oraz
P_{mt} jako pole małego trójkata

1. Uzasadnij że otrzymane trójkąty są podobne.
Suma kątów w trójkącie to 180 stopni. Skoro mamy trójkąt prostokątny to wiemy, ze suma kątów \alpha i \beta to 90. Zaznaczając na rysunku wysokość zauważysz, że dzieli ona kąt prosty pierwotnego trójkąta na dwie części. Nazwijmy je \alpha' i \beta'.
Na rysunku widzimy, że:
\alpha' + \beta' = 90
\alpha + \beta = 90
\alpha' + \beta = 90
\alpha + \beta' = 90

Wniosek i uzasadnienie:
Jeśli \alpha = \alpha' oraz \beta = \beta' to dwa trójkąty mające jednakowe kąty są podobne.

2. Oblicz pole mniejszego z trójkątów.
Korzystając z właściwości funkcji trygonometrycznych otrzymujemy:
\sin \alpha = \frac{h}{b} , \sin \alpha = \frac{a}{c} , \sin \alpha' = \frac{y}{a}

Jeśli \alpha = \alpha' to \sin \alpha = \sin \alpha', a to nam daje następujące zależności:
\frac{h}{b} = \frac{a}{c} \Rightarrow hc = ba \Rightarrow hc = 10a

\frac{a}{c} = \frac{y}{a} \Rightarrow a^{2} = yc

\frac{h}{b} = \frac{y}{a} \Rightarrow ha = by \Rightarrow ha = 45

Z porównania wzorów na pole trójkąta otrzymujemy:
\frac{ab}{2} = \frac{hc}{2}

Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy:
a^{2} + b^{2} = c^{2}
h^{2} + x^{2} = b^{2}
h^{2} + y^{2} = a^{2}

Następnie robiąc przekształcenia i obliczenia otrzymujemy:
a^{2} + b^{2} = c^{2} \Rightarrow a^{2} = c^{2} - b^{2} \Rightarrow a^{2} = x^{2} + 9x - 79,75

h^{2} + x^{2} = b^{2} \Rightarrow h^{2} = b^{2} - x^{2}

h^{2} + y^{2} = a^{2} \Rightarrow h^{2} = a^{2} - y^{2}

następnie z układu równań,
\begin{cases} h^{2} = b^{2} - x^{2} \\h^{2} = a^{2} - y^{2} \end{cases}
otrzymujemy:
b^{2} - x^{2} = a^{2} - y^{2} \Rightarrow a^{2} = 120,25 - x^{2}

następnie z układu równań,
\begin{cases} a^{2} = x^{2} + 9x - 79,75 \\a^{2} = 120,25 - x^{2} \end{cases}
otrzymujemy:
x^{2} + 4,5x - 100 = 0 \Rightarrow x = 8

Mając już x i b obliczamy h
h^{2} = b^{2} - x^{2} \Rightarrow h = \sqrt{b^{2} - x^{2}}
h = \sqrt{10^{2} - 8^{2}} \Rightarrow h = 6

Mając już y i h możemy obliczyć pole małego trójkąta (P_{mt}):
P_{mt} = \frac{hy}{2} = \frac{6 \cdot 4,5}{2} = 13,5
Odp. Pole mniejszego trójkąta jest równe 13,5.

Dla sprawdzenia poprawności wyników możemy obliczyć c i a.
c = x + y = 12,5

ha = by \Rightarrow a = \frac{by}{h} \Rightarrow a = 7,5

następnie sprawdzamy poprawność twierdzenia Pitagorasa:
a^{2} + b^{2} = c^{2} \Rightarrow 7,5^{2} + 10^{2} = 12,5^{2} prawda
h^{2} + x^{2} = b^{2} \Rightarrow 6^{2} + 8^{2} = 10^{2} prawda
h^{2} + y^{2} = a^{2} \Rightarrow 6^{2} + 4,5^{2} = 7,5^{2} prawda
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Problem - trójkąt równoboczny  greenface  2
 Trójkąt wpisany w okrąg - zadanie 2  andrzejpaw  2
 oblicz wysokość budynku - zadanie 2  Bill  1
 wysokość trójkąta - zadanie 18  marta3712  1
 Okrąg opisany i wpisany w trójkąt - zadanie 2  KOTECZEK  9
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl