szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 kwi 2013, o 22:45 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Szczyrk
Witam!

Mam pytanie odnośnie pewnego zadania ze zbioru zadań maturalnych:

122. Funkcja f określona jest wzorem f(x)= \frac{x^3+1}{x^2} . Wykaż, że jeżeli dla dwóch ujemnych liczb a i b zachodzi równość f(a)=f(b) to liczby a i b są równe.

Mianowicie, czy można za prawidłowe uznać rozwiązanie polegające na wykazaniu, że dla ujemnych argumentów funkcja ta jest rosnąca?
W skrócie: założono, że a<b, a różnicę f(b)-f(a)= \frac{ b^{3} +1 }{ b^{2} } - \frac{ a^{3} +1 }{ a^{2} } przekształcono do postaci b-a+\frac{ 1 }{ b^{2} }-\frac{ 1 }{ a^{2} }. Wyrażenie b-a jest zawsze dodatnie, bo b>a, wyrażenie \frac{ 1 }{ b^{2} }-\frac{ 1 }{ a^{2} } również jest zawsze dodatnie, gdyż (rozważamy tylko liczby ujemne): a^{2}=\left| a\right| ^{2}, a dla a<0 \left| a\right| = -a (analogicznie dla b). Mamy zatem:
a<b
-a>-b
\left| a\right| > \left| b\right|
a^{2}>b^{2}
\frac{1}{b^{2}}>\frac{1}{a^{2}}

Całe wyrażenie jest zatem dodatnie: f(b)-f(a) > 0, co dowodzi, że funkcja jest rosnąca dla argumentów ujemnych, a zatem nie ma dwóch różnych argumentówx \in \mathbb{R_{-}}, dla których funkcja przyjmuje tę samą wartość, tak więc f(a)=f(b) \Leftrightarrow a=b.

Czy takie rozumowanie jest poprawne i jest wystarczającym dowodem?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 kwi 2013, o 22:54 
Administrator

Posty: 22656
Lokalizacja: Wrocław
Jest poprawne i jest wystarczającym dowodem (choć dodatniość wyrażenia \frac{ 1 }{ b^{2} }-\frac{ 1 }{ a^{2} } można pokazać szybciej).

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 kwi 2013, o 23:11 
Użytkownik

Posty: 2
Lokalizacja: Szczyrk
Dziękuję za szybką odpowiedź! :)

Na pewno nie jest to zgrabny dowód, ale grunt, że działa. Mój aparat matematyczny nie jest w najlepszej kondycji. ;)

Pozdrawiam.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Funkcja wymierna - nierówności.  Gambit  4
 Rozwiąż nierówność - funkcja homograficzna  judge00  2
 wyznacz współczynniki a,b i c - funkcja homograficzna  Impreshia  1
 funkcja wymierna - własności  efcia33  5
 Wykaż (z definicji), że funkcja w przedziale  chef  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl