szukanie zaawansowane
 [ Posty: 11 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 kwi 2013, o 22:53 
Użytkownik

Posty: 662
Witam.
Mam dwa pytania odnośnie monotoniczności funkcji.
1. Jeśli dla argumentów: 1,2,3,4,5 funkcja przyjmuje wartość 5 (nie linia ciągła, lecz kropki w układzie współrzędnych) to czy funkcja jest stała? Można tak powiedzieć czy nie? Dlaczego?
2. Jeżeli piszemy przedziały monotoniczności funkcji i mamy przypadek, że mamy dwa przedziały. W jednym rośnie a w drugim maleje. Do argumentu 3 rośnie, później maleje (w sumie to by była niby odpowiedź). Pytanie. Czy pisząc przedział, w którym funkcja rośnie uwzględniamy 3, jest to zamknięty czy otwarty przedział? Czy funkcja może dla jednego argumentu jednocześnie rosnąć i maleć? Jak to z tym jest?
Pozdrawiam

edit:
3. Może ktoś podać przykład funkcji różnowartościowej, która nie jest rosnąca lub malejąca? Mam to napisane, ale wydaje mi się, że musi być albo taka albo taka.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 kwi 2013, o 23:20 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 6500
Lokalizacja: Kraków
1. Tak. Funkcja f:\{1,2,3,4,5\} \rightarrow \{5\}, \ x\mapsto 5 jest stała. Wynika to z definicji funkcji stałej.

2. Funkcja nie może ani rosnąć ani maleć tylko dla jednego argumentu. Możemy porównywać ze sobą wartości kilku kolejnych argumentów. Co do otwierania/zamykania przedziału - definicja funkcji monotonicznej mówi nam, że przedziały możemy domykać. Zaraz mogą pojawić się głosy, że ze względu na rachunek pochodnych przedziały powinny być otwarte, jednak twierdzenie mówi tylko, że różniczkowalna funkcja jest monotoniczna na przedziale otwartym wtedy i tylko wtedy, gdy pochodna zachowuje na tym odcinku znak. Krótko mówiąc - twierdzenie to dotyczy tylko zachowania się funkcji na odcinku otwartym, nie możemy na podstawie niego wnioskować o monotoniczności w przedziałach domkniętych - tutaj należy skorzystać z definicji.

3.
f(x)= \begin{cases} x \textrm{ dla }x \in \left[-1,0) \\ 1-x \textrm{ dla }x \in \left[ 0, 1\right]\end{cases}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 kwi 2013, o 23:59 
Użytkownik

Posty: 662
A jeśli mamy taką sytuację. Funkcja rośnie w przedziale \left( - \infty ;-5\right\rangle, maleje w \left\langle 5;+ \infty \right), dla argumentu 0 przyjmuje wartość 10, reszta nie należy do dziedziny. Czy można powiedzieć, że funkcja jest stała dla argumentu 0?
Żeby nie zakładać kolejnego tematu. Czy to zostało dobrze przekształcone?
f(x)= \begin{cases} -x^2-2 \textrm{ dla } x<0 \\ 0 \textrm{ dla } x=0 \\ x^2+2 \textrm{ dla } x>0 \\ D=R\end{cases} 
 f(-x)= \begin{cases} x^2+2 \textrm{ dla } x<0 \\ 0 \textrm{ dla } x=0 \\ -x^2-2 \textrm{ dla } x>0 \\ D=R\end{cases}
czy nie powinno być:
f(-x)= \begin{cases} -(-x)^2-2=-x^2-2 \textrm{ dla } x<0 \\ 0 \textrm{ dla } x=0 \\ (-x)^2+2=x^2+2 \textrm{ dla } x>0 \\ D=R\end{cases}
?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 kwi 2013, o 06:26 
Administrator

Posty: 21365
Lokalizacja: Wrocław
marek252 napisał(a):
A jeśli mamy taką sytuację. Funkcja rośnie w przedziale \left( - \infty ;-5\right\rangle, maleje w \left\langle 5;+ \infty \right), dla argumentu 0 przyjmuje wartość 10, reszta nie należy do dziedziny. Czy można powiedzieć, że funkcja jest stała dla argumentu 0?

Nie.

Co to znaczy "stała dla argumentu"? Na tej zasadzie to każda funkcja jest stała dla każdego swojego argumentu...

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 kwi 2013, o 09:49 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 6500
Lokalizacja: Kraków
Co do kolejnego pytania - pierwszy sposób jest poprawny.
Zauważ, że mamy np. f(-x)=-(-x)^2-2=-x^2-2 , ale dla -x<0 a nie dla x<0.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 kwi 2013, o 09:55 
Administrator
Avatar użytkownika

Posty: 12708
Lokalizacja: Kraków
ares41 napisał(a):
1. Tak. Funkcja f:\{1,2,3,4,5\} \rightarrow \{5\}, \ x\mapsto 5 jest stała. Wynika to z definicji funkcji stałej.

To jest prawdą, o ile w dziedzinie nie ma nic ponad liczby \{1,2,3,4,5\}. Co prawda jest mowa o "kropkach", ale z tego nie wynika, że dziedziną funkcji nie jest na przykład X=\ZZ.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 kwi 2013, o 10:16 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 6500
Lokalizacja: Kraków
W zasadzie funkcja f:\ZZ \rightarrow \{5\}, x\mapsto 5 też będzie stała.
Oczywiście istotnym jest uwzględnienie dziedziny, dlatego też we wcześniejszym poście uściśliłem na jakim zbiorze określam funkcję.
Rzeczywiście, jeżeli poza tymi punktami funkcja przyjmuje inne wartości, to możemy co najwyżej mówić o jej stałości na pewnym podzbiorze dziedziny, tj, zawęzić dziedzinę. W istocie oznacza to stworzenie nowej funkcji, określonej tylko na tym podzbiorze, przyjmującej takie same wartości jak funkcja wyjściowa.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 kwi 2013, o 12:14 
Użytkownik

Posty: 662
ares41 napisał(a):
Co do kolejnego pytania - pierwszy sposób jest poprawny.
Zauważ, że mamy np. f(-x)=-(-x)^2-2=-x^2-2 , ale dla -x<0 a nie dla x<0.

Nie rozumiem. Licząc f(-x), zamiast x podstawiam -x. Wiem jak to wyliczyć. Ale nie rozumiem tego "ale dla -x<0 a nie dla x<0". -x mam uważać za ujemne a x za dodatnie? Możesz mi to jakoś wytłumaczyć?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 kwi 2013, o 12:19 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 6500
Lokalizacja: Kraków
marek252 napisał(a):
Licząc f(-x), zamiast x podstawiam -x.
Właśnie dlatego :wink:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 kwi 2013, o 12:47 
Użytkownik

Posty: 662
Aaa... Chyba rozumiem, ale zawsze chcę mieć pewność, więc zapytam.
Jeśli liczę f(-x) to
f(-x)=-(-x)^2-2 \textrm{ dla }-x<0
f(-x)=-x^2-2 \textrm{ dla } x>0
Czyli rozumiem, że tego minusa daję również w miejsca, które określają dla jakich x jaki wzór. Czy tak?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 kwi 2013, o 13:01 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 6500
Lokalizacja: Kraków
Zgadza się.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 11 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Monotoniczność funkcji  Martyn1  4
 Monotoniczność funkcji - zadanie 2  yarlan  2
 Monotonicznosc funkcji  garf99  1
 monotonicznośc funkcji - zadanie 2  Michał969  7
 Monotoniczność funkcji - zadanie 6  Tekuskus  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl