szukanie zaawansowane
 [ Posty: 14 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 9 kwi 2013, o 21:56 
Użytkownik

Posty: 85
Lokalizacja: podkarpackie
Witam,
Treść zadania (matura próbna - poziom podstawowy, zadanie za 2pkt.):
Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z takich że x+y+z=3 prawdziwa jest nierówność x^{2}+y^{2}+z^{2}  \ge 3

Czy prawidłowe byłoby rozwiązanie tego zadania w taki sposób:

Dla dowolnej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność x^{2} \ge x
i analogicznie y^{2} \ge y
z^{2} \ge z
Dodajemy stronami nierówności i otrzymujemy
x^{2}+y^{2}+z^{2} \ge x+y+z
a skoro x+y+z=3 to znaczy, że x^{2}+y^{2}+z^{2} \ge 3
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 kwi 2013, o 21:59 
Użytkownik

Posty: 2750
Lokalizacja: podkarpacie
NIE. Już na dzień dobry zauważ, że nierówność x^2\ge x nie jest prawdziwa, choćby dla x=\frac12. Podobnie z pozostałymi nierównościami.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 9 kwi 2013, o 22:18 
Użytkownik

Posty: 85
Lokalizacja: podkarpackie
Wiedziałam, że to by było zbyt proste. Czyli to by była prawda, ale dla liczbn całkowitych.
Ok, dziękuję za odpowiedź.
Czyli bez skomplikowanych podstawień pewnie się nie da tego rozwiązać.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 9 kwi 2013, o 22:58 
Użytkownik

Posty: 1278
3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge (x+y+z)^2
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 kwi 2013, o 23:14 
Gość Specjalny

Posty: 5019
Lokalizacja: Warszawa
To co w powyższym poście można otrzymać np. z nierówności Jensena dla funkcji wypukłej f(x)=x^2 dostajemy: \frac{1}{3}x^2 + \frac{1}{3}y^2 + \frac{1}{3}z^2  \ge \left(  \frac{x+y+z}{3} \right)^2.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 9 kwi 2013, o 23:24 
Użytkownik

Posty: 1040
Lokalizacja: Lublin/Warszawa
Z nierówności między średnimi kwadratową i arytmetyczną:

\sqrt{ \frac{x^2+y^2+z^2}{3} }  \ge  \frac{|x|+|y|+|z|}{3} \ge  \frac{x+y+z}{3} =1
czyli

x^{2}+y^{2}+z^{2} \ge 3
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 9 kwi 2013, o 23:42 
Użytkownik

Posty: 1278
Uprzedzając fakty, to da się oczywiście wywieść z kilku innych znanych nierówności.
bosa_Nike napisał(a):
3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge (x+y+z)^2
\iff\ 2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge 2(xy+yz+zx)\ \iff\ (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\ge 0
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 9 kwi 2013, o 23:44 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 365
Lokalizacja: Kluczbork
(x+y+z) ^{2}=9
x ^{2} +y ^{2}+ z ^{2}+2xy+2xz+2yz=9

wiedząc,że
(x-y) ^{2}  \ge 0
x ^{2}+y ^{2}  \ge 2xy
mamy
x ^{2}+y ^{2}+z ^{2} +(x ^{2} +y ^{2} )+(x ^{2}+y ^{2})+(z ^{2} +y ^{2} ) \ge 9
więc
3x ^{2}+3y ^{2}  +3z ^{2}  \ge 9

x ^{2} +y ^{2}+z ^{2} \ge 3
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 10 kwi 2013, o 15:14 
Użytkownik

Posty: 85
Lokalizacja: podkarpackie
kamil13151 napisał(a):
To co w powyższym poście można otrzymać np. z nierówności Jensena dla funkcji wypukłej f(x)=x^2 dostajemy: \frac{1}{3}x^2 + \frac{1}{3}y^2 + \frac{1}{3}z^2  \ge \left(  \frac{x+y+z}{3} \right)^2.


Dziękuję za pomoc, ale nierówności Jensena chyba nie mieszczą się w zakresie materiału podstawowego liceum. Jest to zadanie na poziomie matury podstawowej, więc miałam nadzieję, że można go rozwiązać w jakiś nieskomplikowany sposób, bez wykraczania poza zakres podstawowej wiedzy na poziomie liceum.

-- 10 kwi 2013, o 17:44 --

(Zamieszczam całe rozwiązanie, aby ktoś mógł sprawdzić i jeśli byłoby dobrze, to może ktoś inny kiedyś skorzysta. )
Spróbuję trzymać się propozycji Mruczka na zastosowanie nierówności pomiędzy średnimi.
Zatem zgodnie z wzorami mamy:
Średnia kwadratowa: \sqrt{ \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{3} }, Średnia arytmetyczna: \frac{x+y+z}{3}

Dla dowolnych liczb rzeczywistych prawdziwa jest nierówność, taka że
\hbox{średnia kwadratowa}  \ge \hbox {średnia arytmetyczna}

więc: \sqrt{ \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{3} } \ge \frac{x+y+z}{3}
skoro x+y+z=3 (z treści zadania) to dostanę nierówność:
\sqrt{ \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{3} } \ge 1 następnie korzystam z własności pierwiastków: \frac{ \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} }{ \sqrt{3} }  \ge 1 Potem podnoszę obie strony nierówności do kwadratu: \frac{ \left(  \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right) ^{2}}{ \left(  \sqrt{3}\right)^2} \ge 1^{2}.

Jeśli chodzi o licznik po lewej stronie nierówności to zauważam, że skoro pod pierwiastkiem na pewno jest liczba nieujemna, więc wynikiem tego działania będzie liczba podpierwiastkowa, czyli x^{2}+y^{2}+z^{2}
Ostatecznie dostanę: \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{3} \ge 1 Na koniec mnożę obie strony przez mianownik i dostanę to co miałam udowodnić: x^{2}+y^{2}+z^{2} \ge 3

Proszę o komentarz czy poprawnie rozwiązałam to zadanie.
Ewentualnie jeśli ma ktoś inne propozycje rozwiązania, może łatwiejsze, to proszę o sugestie.
Dziękuję wszystkim za pomoc.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 kwi 2013, o 19:27 
Gość Specjalny

Posty: 5019
Lokalizacja: Warszawa
Fatina napisał(a):
Jest to zadanie na poziomie matury podstawowej, więc miałam nadzieję, że można go rozwiązać w jakiś nieskomplikowany sposób, bez wykraczania poza zakres podstawowej wiedzy na poziomie liceum.
To zadanie nie jest z obecnego zakresu podstawowego, natomiast coś mi się wydaje, że nawet z rozszerzonego też nie...

Fatina napisał(a):
Dla dowolnych liczb rzeczywistych prawdziwa jest nierówność, taka że
\hbox{średnia kwadratowa}  \ge \hbox {średnia arytmetyczna}
To co napisałaś nie jest prawdą, gdyż nierówność pomiędzy średnimi zachodzi dla dowolnych liczb dodatnich. Dana nierówność zachodzi oczywiście dla wszystkich liczb rzeczywistych, ale wówczas lewa strona opisuję "średnią". Więcej informacji: http://pl.wikipedia.org/wiki/Nier%C3%B3 ... %9Brednich
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 11 kwi 2013, o 22:03 
Użytkownik

Posty: 85
Lokalizacja: podkarpackie
Cytuj:
To zadanie nie jest z obecnego zakresu podstawowego, natomiast coś mi się wydaje, że nawet z rozszerzonego też nie...


Też mi się tak wydaje...
Jest to zadanie z arkusza, który został oznaczony jako "Poziom podstawowy": http://pliki.echodnia.eu/pdf/MaturaProbnaMatematykaArkusz.pdf Widocznie ktoś kto go przygotowywał, nie bardzo orientował się co mieści się w zakresie podstawowym.

Cytuj:
To co napisałaś nie jest prawdą, gdyż nierówność pomiędzy średnimi zachodzi dla dowolnych liczb dodatnich. Dana nierówność zachodzi oczywiście dla wszystkich liczb rzeczywistych, ale wówczas lewa strona opisuję "średnią". Więcej informacji: http://pl.wikipedia.org/wiki/Nier%C3%B3 ... %9Brednich

Faktycznie.
Czytałam to co w odnośniku, ale jest to zbyt skomplikowane: "Pierwsza z nierówności zachodzi również dla dowolnych liczb rzeczywistych (lecz wtedy, w ogólnym przypadku, wyrażenie po lewej stronie znaku nierówności opisuje średnią)." Co to oznacza w przypadku tego mojego zadania?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 kwi 2013, o 22:20 
Korepetytor

Posty: 1830
Lokalizacja: Katowice, Warszawa
Średnia arytmetyczna jest definiowana dla dowolnych liczb rzeczywistych, zatem nie mamy tutaj do czynienia z żadną patologią i rozwiązanie zaproponowane w kluczu jest poprawne.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 12 kwi 2013, o 00:15 
Użytkownik

Posty: 85
Lokalizacja: podkarpackie
Czyli ustalmy ostatecznie - rozwiązanie, które napisałam jest poprawne?

W kluczu napisano tak:
Cytuj:
Dla liczb nieujemnych x, y, z prawdziwa jest nierówność między średnią kwadratową i średnią arytmetyczną\sqrt{ \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{3} } \ge \frac{x+y+z}{3}Jeżeli natomiast któraś z liczb x, y, z jest ujemna, to ta nierówność również jest prawdziwa.


To w takim razie kiedy mamy do czynienia z tą, jak to nazwałeś, "patologią" ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 kwi 2013, o 12:25 
Korepetytor

Posty: 1830
Lokalizacja: Katowice, Warszawa
Np nierówność

\sqrt[3]{\frac{x^3+y^3+z^3}{3}} \ge \frac{x+y+z}{3} nie zachodzi dla liczb ujemnych (powinna być w drugą stronę), a jeśli nie wszystkie liczby x,y,z są ujemne, to w ogóle nierówność ta zachowuje się nieregularnie.

Co więcej nie istnieje coś takiego jak średnia geometryczna liczb ujemnych, bo przecież pierwiastek nie każdego stopnia jest dobrze określony na liczbach ujemnych.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 14 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 udowodnij że prawdziwa jest nierówność  mycha-mycha1  19
 Udowodnij że prawdziwa jest nierówność - zadanie 4  YuukiCro  2
 udowodnij że prawdziwa jest nierówność - zadanie 2  dusiek1609  4
 Co to jest liczba kolista??  Anonymous  12
 Udowodnij że x=... jest dla każdych argumentów a,b,c mni  magik100  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl