szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 kwi 2013, o 13:46 
Użytkownik

Posty: 18
Lokalizacja: Warszawa
Wykazać, że istnieje funkcja f: \left( 0,1 \right)  \rightarrow \mathbb{R} która nie jest wypukła i jednocześnie dla każdych x,y \in  \left( 0,1 \right) spełnia nierówność

f \left( \frac{x+y}{2} \right)  \le \frac{f \left( x \right) +f \left( y \right) }{2}.

Proszę o pomoc w tym zadaniu. Pozdrawiam.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 kwi 2013, o 14:03 
Użytkownik

Posty: 7346
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
\begin{cases} x= \frac{1}{2^{n}} \quad  x \in  \frac{1}{\mathbb{N}}   \\ 0 \quad \mbox{wszędzie indziej} \end{cases}
Oczywiście spełnia nierówność, ale weźmy \lambda = \frac{1}{3} i x=y= \frac{3}{4}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 kwi 2013, o 14:20 
Użytkownik

Posty: 18
Lokalizacja: Warszawa
Masz na myśli funkcję:
f(x)=
\begin{cases} x \quad \mbox{gdy}  x = \frac{1}{2^{n}}, n\in \mathbb{N} \\ 0 \quad \mbox{wszędzie indziej} \end{cases}
bo nie wiem czy dobrze odczytałem?
Nierówność nie zachodzi niestety chociażby dla x= \frac{1}{32} i y= \frac{3}{32}.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 kwi 2013, o 17:11 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 95
Lokalizacja: Katowice
To nie zadziała, tak jak piszesz. Funkcje spełniające warunek z Twojego pierwszego posta nazywają się funkcjami wypukłymi w sensie Jensena (lub J-wypukłymi). A wracając do zadania:

f(x)=e^{g(x)}

Przy czym za g należy przyjąć dowolną nieciągłą funkcję addytywną. Da się dowieść istnienia takich funkcji używając lematu Kuratowskiego - Zorna (więc i pewnika wyboru).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 kwi 2013, o 18:31 
Użytkownik

Posty: 18
Lokalizacja: Warszawa
g(x+y)=g(x)+g(y), ale stąd nie wynika, że f(\frac{x+y}{2})=\frac{f(x)+f(y)}{2} przy tak zdefiniowanej g, bo domyślam się, że tą równość chcemy pokazać.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 kwi 2013, o 19:30 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 95
Lokalizacja: Katowice
My nie chcemy pokazać równości tylko nierówność. Skoro g jest addytywna to:

g(x)=g\left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}x\right)=g\left(\frac{1}{2}x\right)+g\left(\frac{1}{2}x\right)=2g\left(\frac{1}{2}x\right) czyli po podzieleniu stronami przez 2:

g\left(\frac{1}{2}x\right)=\frac{1}{2}g(x) Teraz będziemy korzystać z wypukłości funkcji e^t:

f\left(\frac{x+y}{2}\right)=e^{g\left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y\right)}=e^{g\left(\frac{1}{2}x\right)+g\left(\frac{1}{2}y\right)}=e^{\frac{1}{2}g(x)+\frac{1}{2}g(y)}\le \frac{1}{2}e^{g(x)}+\frac{1}{2}e^{g(y)}=\frac{1}{2}(e^{g(x)}+e^{g(y)})=\frac{f(x)+f(y)}{2}.

Dalej, gdyby f było ciągłe to \ln(f) także jako złożenie dwóch ciągłych ale \ln(f)=g więc nie jest.

Gdyby f było wypukłe to z racji tego, że jest określone na zbiorze otwartym byłoby ciągłe a nie jest.

Pozostaje Ci kwestia istnienia tej funkcji:
http://www.mctague.org/carl/maths/discaddfunc/discaddfunc.pdf
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Funkcja zaokrąglajaca  Anonymous  3
 Surjekcja (funkcja "na")  lucky36  1
 Funkcja z parametrem...  Finarfin  2
 Jaka to funkcja?  Anonymous  1
 Nowe pojęcie - funkcja cecha  jchris  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl