szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 kwi 2013, o 20:31 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 188
Lokalizacja: dolnośląskie
Udowodnij, że dla n \in N \ 5^n-5 jest podzielne przez 4.

Czy ktoś potrafiłby zrobić to zadanie z wyjątkiem indukcji i użycia wzoru
a^n-1=(a-1)(1+a+...+a^{n-1}), najlepiej jakby było to pełne rozwiązanie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 kwi 2013, o 20:51 
Użytkownik

Posty: 314
Lokalizacja: Puławy
5^{n}\equiv_{4}1
Strasznie Ci ręce związali. :P
Jakbyś nie czaił zapisu, to oznacza to, że potęgi liczby 5 dają reszte z dzielenia przez 4 równą 1
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 kwi 2013, o 20:56 
Użytkownik

Posty: 752
Lokalizacja: Warszawa
5^n + 5 = 5( 5^{n-1}  - 1). Teraz zauważ że ( 5^{n-1}  - 1), jest zawsze podzielne przez 4 dla każdego naturalnego n.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 kwi 2013, o 21:09 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 188
Lokalizacja: dolnośląskie
Czyli spokojnie możemy sobie założyć, ze 5 podniesione do dowolnej potegi naturalnej da resztę 1 z dzielenia przez 4.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 kwi 2013, o 21:15 
Korepetytor

Posty: 1830
Lokalizacja: Katowice, Warszawa
No bo baza indukcji jest spełniona, mianowicie 5 = 4k+1 (k=1). Niech zatem 5^n = 4m+1. Wówczas 5^{n+1}=5 \cdot 5^n = 5(4m+1) = 4(5m+1) + 1 = 4l + 1.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 kwi 2013, o 21:19 
Użytkownik

Posty: 314
Lokalizacja: Puławy
a właśnie musimy mieszać w to indukcje? Wiadomo, że można ale nie wystarczy takie rozumowanie?:
5\equiv_{4}1 \Rightarrow 5^{n}\equiv_{4}1

EDIT: Oczywiście jeżeli ktoś miał kongruencje. :P
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 kwi 2013, o 21:25 
Korepetytor

Posty: 1830
Lokalizacja: Katowice, Warszawa
No to trochę śliska sprawa, bo większość własności kongruencji dowodzi się właśnie przez indukcję :P Dlatego jeśli z nich skorzystasz, to również po cichu skorzystasz z indukcji.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 udowodnienie podzielności  kwazar  4
 Udowodnienie podzielności - zadanie 2  Adasiek  4
 Zadania dotyczące podzielności  wyderka22  4
 Zadania z podzielności liczb  shep4rd  2
 Uzasadnienie podzielności przez 4  szprot_w_oleju  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl