szukanie zaawansowane
 [ Posty: 10 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 kwi 2013, o 20:20 
Użytkownik

Posty: 104
Wyznacz wszystkie funkcje ciągłe f: R  \rightarrow  R spełniające warunki:
f(1)=1
oraz
f(x+y)=f(x)+f(y)+xy

I teraz pytanko, mogę zrobić taki wałek, że:
Niech y będzie dane, wtedy policzę pochodną z f(x+y) i dostanę, że f''(x)=1 stąd
f(x)=ax^2+bx+c czyli miałbym f''(x)=2a  \Rightarrow a= \frac{1}{2}, korzystając z warunków f(1)=1 i f(0)=0 doliczę b i c. Wtedy dostanę, że f(x)= \frac{x(x+1)}{2} i właściwie finito, bo ta funkcja jest ciągła, czyli spełnia wszystkie warunki. Może być takie rozwiązanie?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 kwi 2013, o 20:24 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17967
Lokalizacja: Cieszyn
Nie masz założonej różniczkowalności, więc nie możesz obliczać pochodnych. TO co robisz, jest przymiarką. Ale mogę też być rozwiązania nawet nieciągłe. To może zmienić jakościowo obraz rzeczy.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 kwi 2013, o 20:30 
Użytkownik

Posty: 104
No ale w sumie różniczkowalność wyjdzie, gdy policzę pochodną, bo dla każdego x,y pochodna ma skończoną wartość. A jeśli nie w ten sposób, to jak wykorzystać to, że ma być ciągła?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 kwi 2013, o 20:40 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17967
Lokalizacja: Cieszyn
Zapędziłem się z nieciągłością, bo ciągłość jest w założeniu. Ale różniczkowalności nie możesz zakładać. Jak wykażesz, że z ciągłości wynika różniczkowalność. Np. dla f(x)=|x|? (to oczywiście nie jest rozwiązanie tego równania)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 kwi 2013, o 20:43 
Użytkownik

Posty: 104
A inaczej się nie da, żeby wykorzystać ciągłość bez udowadniania, że jest różniczkowalna? Tzn. bo nie wiem jak się zabrać za ciągłość \rightarrow różniczkowalność.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 kwi 2013, o 20:45 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 6500
Lokalizacja: Kraków
Zabierać się możesz, ale to jest po prostu nieprawda. Z ciągłości nie wynika różniczkowalność - kontrprzykład powyżej.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 kwi 2013, o 20:50 
Administrator
Avatar użytkownika

Posty: 12708
Lokalizacja: Kraków
Podszedłem do tego zadania inną metodą, dostałem niewiele więcej ponadto co wyżej.

Wynik:
Łatwo wywnioskować, że

\Delta f(x)=f(x+1)-f(x)=x+1

więc korzystając z metod rachunku różnicowego

f(x)=\frac{x^{\underline{2}}}{2}+x^1=\frac{x(x+1)}{2}

Ponieważ bazuje to na liczeniu całek, jest już trochę lepiej jeśli chodzi o założenia co do gładkości (chyba). Jeśli ktoś się lepiej orientuje, niech skomentuje - ja z tego kawałka znam tylko trochę działań praktycznych, nie znam założeń.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 kwi 2013, o 20:55 
Użytkownik

Posty: 104
Mógłbym indukcyjnie pokazać, że f(n)= \frac{n(n+1)}{2}, tylko jak później przejść, że dla R zachodzi.
Góra
PostNapisane: 19 kwi 2013, o 06:56 
Użytkownik
Podstaw: f(\xi ) =g(\xi ) +\frac{\xi^2 }{2} .
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 kwi 2013, o 11:31 
Użytkownik

Posty: 7346
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Dzięki ciągłości możesz ograniczyć się do znalezienia dla liczb wymiernych . W tym celu zbadaj parzystość,jednorodność,bądź analogiczne własności,aby rozszerzyć na liczby wymierne
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 10 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Równanie funkcyjne - zadanie 2  przemk20  6
 równanie funkcyjne - zadanie 4  MatizMac  6
 Równanie funkcyjne - zadanie 8  patry93  5
 Równanie funkcyjne - zadanie 9  rectussss  5
 równanie funkcyjne - zadanie 13  binaj  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl