szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 kwi 2007, o 15:23 
Użytkownik

Posty: 15
Lokalizacja: Warszawa
Dany jest trójkąt ostrokątny ABC. Niech S będzie środkiem boku AB, O - środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABC, H - punktem przecięcia się wysokości tego trójkąta. Udowodnij, że |CH|=2|OS|.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 3 kwi 2007, o 18:53 
Użytkownik

Posty: 136
Lokalizacja: Warszawa
Niech P to środek cięzkości trójkąta ABC. Niech A'B'C' będzie obrazem ABC w jednokładności o środku w P i skali -2. Wtedy A leży na B'C', B leży na C'A', a C leży na A'B' (bo środkowe przecinają się w stosunku 2:1, więc nasza jednokładność wyrzuciła środki boków ABC na wierzchołki A, B i C). Z własności jednokładności AB||A'B', a więc wysokość h trójkąta ABC opuszczona z C jest prostopadła do A'B'. Wiemy, że obrazem punktu S jest punkt C, a ponieważ S to połowa AB, więc C to połowa A'B', czyli h dzieli A'B' na połowy, a skoro jest też do A'B' prostopadła, to zawarta jest w symetralnej boku A'B'. Widzimy więc, że symetralna boku AB przeszła na prostą zawierającą wysokość h. Podobnie wszystkie pozostałe środkowe trójkąta ABC przeszły na odpowiednie proste zawierające wyskości trójkąta ABC, a więc w szczególności punkt przecięcia środkowych O przeszedł na ortocentrum H. Poza tym S przeszło na C, a skoro jednokładność miała skalę -2, to 2OS=HC, cnd.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 mar 2012, o 15:38 
Użytkownik

Posty: 23
Witam. Jest jeszcze jakiś inny sposób na udowodnienie tego?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego w trójkącie  Anonymous  3
 Udowodnić, że suma długosci odcinków w trójkącie jes  Vithal  2
 Oblicz pole trójkąta równobocznego wpisanego w okrąg  Jessica  12
 Dowód na sumę kątów w trójkącie  metamatyk  3
 Wzór na miarę kąta ostrego w trójkącie prostokątnym  Anonymous  21
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl