szukanie zaawansowane
 [ Posty: 9 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 kwi 2013, o 18:37 
Użytkownik

Posty: 174
Lokalizacja: ffff
Witam!

Jak zabrać się za rozwiązanie takich równań?
f(f(x)) = x \\
f(f(x) + 1) = 2-x \\
Nie mam pomysłu jak to rozwiązać, proszę o wskazówki.

Edit:
jeśli wpierw zróżniczkuję obustronnie równanie po x dalej scałkuję wówczas otrzymuję, że f(x) = \frac{x}{2} + C Wydaje mi się, że dobrze. Mam rację?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 kwi 2013, o 19:35 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 230
Lokalizacja: Londyn
Twój wynik jest zły, niezależnie od tego czy chodzi o pierwsze, czy drugie równanie.

To jest jeden układ równań z tą samą funkcją czy zupełnie osobne równania?

Bo jak jeden, to szybko wychodzi sprzeczność, bo z pierwszego równania widać różnowartościowość, a z połączenia obu okresowość...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 kwi 2013, o 22:56 
Użytkownik

Posty: 174
Lokalizacja: ffff
Msciwoj napisał(a):
Twój wynik jest zły, niezależnie od tego czy chodzi o pierwsze, czy drugie równanie.

To jest jeden układ równań z tą samą funkcją czy zupełnie osobne równania?

Bo jak jeden, to szybko wychodzi sprzeczność, bo z pierwszego równania widać różnowartościowość, a z połączenia obu okresowość...

To są osobne równania. Mój wynik jest niepoprawny bo winno być (f'(x))^2 = ... a ja napisałem 2f'(x). Ale do meritum, pomożesz? Zasugeruj jak rozwiązać przykładowo pierwsze równanie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 kwi 2013, o 22:57 
Użytkownik

Posty: 435
Lokalizacja: Dębica/Rzeszów
f(x)=x moze pasuje
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 kwi 2013, o 08:44 
Użytkownik

Posty: 174
Lokalizacja: ffff
Tylko, że ja bym chciał poznać poprawną metodę rozwiązania takiego przypadku. Modulant sytuujący może trochę tutaj nie pasuje ;).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 kwi 2013, o 09:32 
Użytkownik

Posty: 435
Lokalizacja: Dębica/Rzeszów
pierwsze może jeszcze z inwolucji da się wytłumaczyć, ale drugie to nie mam pojęcia na razie :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 kwi 2013, o 11:12 
Użytkownik

Posty: 174
Lokalizacja: ffff
Pierwsza w zasadzie jest inwolucją. Ale jak zbliżyć się do rozwiązania mojego problemu?

-- 24 kwi 2013, o 14:35 --

A może z tym przykładem mi pomożecie:
f(x) = f(x_1)f(x_2) \\
x_1 + x_2 = x
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 kwi 2013, o 12:54 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 230
Lokalizacja: Londyn
Zająłem się drugim z twoich zadań zamiast uczyć się do matury z polskiego i wyszło mi coś dziwnego:

f(f(x) + 1) = 2 - x
f(f(x) + 1) + 1 = 3 - x
f(3 - x) = f(f(f(x) + 1) + 1) = 2 - f(x) - 1 = 1- f(x)
Zatem
f(3 - x) + f(x) = 1 dla każdego x \in \mathbb{R}
Pachnie funkcją nieparzystą, weźmy więc taką, żeby pasowało:
g(x) = f(x + 1,5) - 0,5
I wtedy:
f(3 -x) = 0,5 + g(1,5 - x)
f(x) = 0,5 + g(x - 1,5)
Czyli, jeśli y = x - 1,5
g(y) = -g(-y)
Ponieważ y = x - 1,5 jest bijekcją, mamy:
g(x) = -g(-x) dla każdego x \in \mathbb{R}.
Spróbujmy napisać nasz wyjściowy warunek w języku nowej funkcji.

f(f(x) + 1) = 2 -x
f(g(x -1,5)+1,5) = 2 -x
g(g(x-1,5))+0,5=2-x
g(g(y)=-y

I znów:

g(g(x))= -x dla każdego x \in \mathbb{R}.

Łatwo widać, że obrót o kąt prosty względem początku układu współrzędnych jest przekształceniem własnym wykresu tej funkcji. (Rozważyć pewien punkt (x, g(x)) i jego obraz w tym przekształceniu).

Nietrudno też nie wprost udowodnić, że jest ona różnowartościowa. (Zakładamy, że dla pewnych dwóch liczb daje tę samą wartość i dowodzimy, że są one równe)
W zasadzie niewiele więcej umiem o tej funkcji powiedzieć, może z wyjątkiem tego, że na pewno nie jest ciągła. Załóżmy przeciwnie, że jest.

Ponieważ jest nieparzysta i różnowartościowa, to może mieć tylko jedno miejsce zerowe.
Ponieważ wspomniany obrót jest przekształceniem własnym wykresu, zauważmy, że w każdej z czterech ćwiartek wykresu musi istnieć punkt należący do wykresu funkcji. Bierzemy po prostu jakikolwiek punkt nie leżący ani na osi rzędnych, ani na osi odciętych i obracamy go trzy razy, tworząc trzy nowe punkty, każdy w innej ćwiartce. Weźmy punkty leżące w pierwszej i czwartej ćwiartce. Niech to będą (a,b) oraz (b, -a). Oczywiście a,b>0. Ponieważ w punktach a oraz b funkcja przyjmuje wartości przeciwnych znaków, to na mocy twierdzenia Bolzano-Cauchy'ego pomiędzy nimi przyjmuje wartość 0, co jest sprzeczne z jej różnowartościowością, gdyż g(0)=0. Oznacza to, że funkcja g(x) nie jest funkcją ciągłą.

Zwykle w rozwiązaniach takich równań dochodzimy do funkcji ciągłych, ta zaś z pewnością w całej dziedzinie ciągła być nie może. Próbując różniczkować, zakładamy ciągłość. :) Krótko mówiąc, żaden sensowny wzór nam z tego nie wyjdzie.

Znalazłem fajną konstrukcję pozwalającą stworzyć wykres funkcji g, wygląda ona jak taki nieskończony wiatraczek z cyrku, a składa się z odcinków linii prostych o nachyleniach 1 i -1.


Co do przykładu:
f(x) = f(x_{1})f(x_{2})

x = x_{1} + x_{2},

to jeżeli dołożymy do niego warunek, że f jest ciągła oraz f(1) = a, to otrzymamy funkcję f(x)=a^{x}. Dowód jest powszechnie znany, możesz go znaleźć np. w podręczniku Fichtenholza Rachunek różniczkowy i całkowy, t.1. Na pewno gdzieś go czytałem po tym, jak miałem go na lekcji i chyba tam, a nie u Krysickiego i Włodarskiego. A że są to jedyne dwie książki na ten temat jakie mam, to raczej ta pierwsza.
Jeżeli nie będziemy chcieli, żeby f była ciągła, to na wymiernych będziemy mieli wykładniczą, a na niewymiernych cokolwiek. Jakąś inną wykładniczą. Albo kilka. Albo nieskończenie wiele. Generalnie niezłe bagno.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 maja 2013, o 11:56 
Użytkownik

Posty: 218
Lokalizacja: Warszawa
A w jakiej dziedzinie kolega szuka rozwiązań? Funkcji rzeczywistych? Zespolonych?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 9 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Kilka równań funcyjnych  neworder  7
 Układ równań - zadanie 24  eerroorr  6
 uklad rownan rekurencyjnych  Keendr  0
 Rozwiąż układ równań - zadanie 5  kubawolsza  3
 uklady 2 rownan z 2 niewiadomymi z ktorych 1 jest stopnia 2  woznyadam  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl