szukanie zaawansowane
 [ Posty: 13 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 kwi 2013, o 16:40 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 525
Mam pytanie.

Mam coś takiego:

k^2 \equiv 1 \mod 2

k to parametr. To szukam takich k^2 które przy dzieleniu przez 2 dają resztę 1.To znalezienie ich to jest rozwiązać równanie k^2=1 czy po prostu mam napisać dla nieparzystych liczb k?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 kwi 2013, o 16:58 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 415
Lokalizacja: Biała Podlaska
k^2=2l+1 \Rightarrow k=2l'+1

Tak, po prostu dla nieparzystych k.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 kwi 2013, o 17:16 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 525
Wyznacz wszystkie liczby naturalne dodatnie k, dla których równanie x^2+x+1=k^2 ma pierwiastki będące liczbami całkowitymi.

Zrobiłem, że \Delta>0   \Rightarrow k \in(-\infty, -\frac{\sqrt{3}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{2},+\infty)

I czy to jest dobrze:

C_1=\frac{-1+\sqrt{4k^2-3}}{2} \\
2C_1=-1+\sqrt{4k^2-3}


-1+\sqrt{4k^2-3} musi być w takim razie wielokrotnością 2

-1+\sqrt{4k^2-3} \equiv 0( mod 2) \\
\sqrt{4k^2-3} \equiv 1 (mod2) /()^2 \\
4k^2-3 \equiv 1 (mod 2) \\
4k^2 \equiv 4 (mod 2)

k=\pm1  \Rightarrow k=1


Czy z tego wynika, że jedynie k=1 ? bo taka jest odpowiedź
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 kwi 2013, o 17:54 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 415
Lokalizacja: Biała Podlaska
Nie jestem najlepszy w kongruencjach:/ Ja bym to zrobił z równania diofantycznego w ten sposób:

2 C_{1} =-1+ \sqrt{4k^2 -3}

2  C_{1} +1 = \sqrt{4k^2 -3}

\left( 2k\right)^2 =\left( 2 C_{1} +1\right)^2 +3

Szukamy zatem dwóch kwadratów liczb całkowitych (jedna z nich całkowita dodatnia) których różnica wynosi 3. Nie musimy daleko szukać;)

2k=2

k=1

-- 23 kwi 2013, o 19:02 --

PS:
A co do kongruencji... czy przypadkiem nie jest prawdą:

4k^2 \equiv 4 \equiv 0 \mod2

???
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 kwi 2013, o 19:13 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 525
nie wiem co to jest równanie diofantyczne a wikipedia o tym nie jest zbyt obszerna.

Prosiłbym o sprawdzenie tych modulo.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 kwi 2013, o 19:46 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 415
Lokalizacja: Biała Podlaska
Równanie diofantyczne to równanie, którego rozwiązania szuka się w liczbach naturalnych lub całkowitych, a które nie dają się rozwiązać metodami algebraicznymi.

Zwróć uwagę właśnie na zwrot szuka się. Tak jak w moim rozwiązaniu. Doszedłem do pewnej zależności między dwiema niewiadomymi, z której potrafię już jednoznacznie wskazać odpowiedź.

Co do modulo... tak jak napisałem wyżej:

4k^2 \equiv 4 \mod 2

\left( 2k\right)^2 \equiv 0 \mod 2

Otrzymujemy równanie nieoznaczone - jest spełnione dla dowolnego k.

Tak przynajmniej mi się wydaje, ale jak już wspomniałem, nie jestem w tym najlepszy... :/

Pozdrawiam,
Vether
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 kwi 2013, o 13:37 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 525
odnośnie tego równania diofantycznego i szukania rozwiązań
2 C_{1} +1 = \sqrt{4k^2 -3}
\left( 2k\right)^2 =\left( 2 C_{1} +1\right)^2 +3

To jak to się szuka, biorąc pod uwagę, że k jest parametrem, a C_1 jest liczbą całkowitą? Bo ja widzę, że dla k=1 wychodzi C_1(C_1+1) ale skąd pewność, że nie ma jeszcze jednego takiego k?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 kwi 2013, o 15:33 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 415
Lokalizacja: Biała Podlaska
k jest całkowite dodatnie z treści zadania więc 2k również

C jest całkowite, więc także 2C+1 jest całkowite, a ponadto nieujemne, co wynika z: 2C+1= \sqrt{4k^2-3}. Niech więc:

2k=a

2C+1=b

Teraz szukamy takich liczb całkowitych nieujemnych (i a \neq 0), że:

a^2=b^2+3

Szukajmy ;) Skoro różnica między kwadratami tych liczb nie jest duża, to różnica pomiędzy samymi liczbami także nie jest zbyt wielka. Ponadto zauważ, że nie możliwe jest a=b, więc szukamy liczb oddalonych od siebie jak najmniej. Szybko znajdujemy a=2 i b=1. Zauważ jeszcze, że gdy wybierasz coraz to większe dwie kolejne liczby całkowite, różnica między ich kwadratami rośnie. Stąd pewność, że nie ma drugiej takiej pary liczb.

Pozdrawiam,
Vether
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 kwi 2013, o 18:09 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 2226
Lokalizacja: Warszawa
Vether napisał(a):
Szukajmy ;) Skoro różnica między kwadratami tych liczb nie jest duża, to różnica pomiędzy samymi liczbami także nie jest zbyt wielka. Ponadto zauważ, że nie możliwe jest a=b, więc szukamy liczb oddalonych od siebie jak najmniej. Szybko znajdujemy a=2 i b=1. Zauważ jeszcze, że gdy wybierasz coraz to większe dwie kolejne liczby całkowite, różnica między ich kwadratami rośnie. Stąd pewność, że nie ma drugiej takiej pary liczb.

Pozdrawiam,
Vether
A dlaczego muszą być to kolejne liczby?
denatlu napisał(a):
Wyznacz wszystkie liczby naturalne dodatnie k, dla których równanie x^2+x+1=k^2 ma pierwiastki będące liczbami całkowitymi.
A najprościej i najładniej zrobić tak: dla nieujemnych x zachodzi:
x^{2} \le x^{2}+x+1 \le \left(x+1\right)^{2}
a co się dzieje dla ujemnych? Wyciągnij odpowiednie wnioski.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 kwi 2013, o 18:26 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 415
Lokalizacja: Biała Podlaska
Ponewor napisał(a):
A dlaczego muszą być to kolejne liczby?


Nie muszą. To jest tylko uzasadnienie, dlaczego nie ma innej pary takich liczb. Chciałem pokazać, że dla coraz większych kolejnych liczb różnica ich kwadratów rośnie, więc tym bardziej dzieje się tak dla "niekolejnych".
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 kwi 2013, o 19:30 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 2226
Lokalizacja: Warszawa
Masz rację. Ja niedowidząc myślałem, że są tam inne potęgi. Ale skoro tak, to z formalnego punktu widzenia łatwiej jest wykorzystać wzór na różnicę kwadratów.

-- 24 kwi 2013, o 20:40 --

denatlu napisał(a):
4k^2 \equiv 4 (mod 2)

k=\pm1  \Rightarrow k=1
Nieprawda, kongruencji w ogólności nie wolno dzielić. Sprawdź choćby k=2. Ono również spełnia pierwszą kongruencję.
Vether napisał(a):
-- 23 kwi 2013, o 19:02 --

PS:
A co do kongruencji... czy przypadkiem nie jest prawdą:

4k^2 \equiv 4 \equiv 0 \mod2

???
Jest to prawda.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 kwi 2013, o 18:37 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 525
Ponewor napisał(a):
denatlu napisał(a):
Wyznacz wszystkie liczby naturalne dodatnie k, dla których równanie x^2+x+1=k^2 ma pierwiastki będące liczbami całkowitymi.
A najprościej i najładniej zrobić tak: dla nieujemnych x zachodzi:
x^{2} \le x^{2}+x+1 \le \left(x+1\right)^{2}
a co się dzieje dla ujemnych? Wyciągnij odpowiednie wnioski.



Dla nieujemnych zachodzi, dla ujemnych nie zachodzi. Ale co z parametrem k^2?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 kwi 2013, o 19:19 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 2226
Lokalizacja: Warszawa
Dla mniejszych od -1 zachodzi, tylko zwroty przeciwne. No to teraz wstaw do środka to k^2 i zobacz, że tam masz kolejne kwadraty.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 13 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Pytanie o podzielność  qws  5
 Rozłożenie liczby pierwszej na sumę. Podzielność składników.  GluEEE  4
 Podzielność sumy kwadratów  wolkow  1
 Podzielność przez 43  MartinezG44  1
 podzielność przez 37 - zadanie 2  gansoo  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl