szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 kwi 2013, o 20:48 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: Wrocław
Zadanie z kolokwium od znanego magistra Jerzego Pietraszko.

Wyznacz resztę z dzielenia:
869 ^{111} + 111 ^{869} przez 108

Jak się zabrać za takie zadanie?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 kwi 2013, o 15:49 
Użytkownik

Posty: 3557
Lokalizacja: Wrocław
869^{111}+111^{869}\equiv (8\cdot 108+5)^{111}+(108+3)^{869}\equiv 5^{111}+3^{869}\pmod{108}\\\\
108=4\cdot 27\\\\
3^{866}\equiv (4-1)^{866}\equiv (-1)^{866}\equiv 1\pmod{4} \Rightarrow 3^{869}\equiv 27\cdot 3^{866}\equiv 27\pmod{108}\\\\
5^{111}\equiv 125^{37}\equiv 17^{37}\equiv 17\cdot 289^{18}\equiv 17\cdot (-35)^{18}\equiv 17\cdot 1225^9\equiv 17\cdot 37^9\equiv\\\\\equiv 17\cdot 37\cdot 1369^4\equiv 17\cdot 37\cdot(-35)^4\equiv 17\cdot 37\cdot 37^2\equiv 17\cdot 37\cdot(-35)\equiv 629\cdot(-35)\equiv\\\\
\equiv -19\cdot(-35)\equiv 665\equiv 17\pmod{108}\\\\
869^{111}+111^{869}\equiv 27+17\equiv 44\pmod{108}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 kwi 2013, o 08:01 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 2226
Lokalizacja: Warszawa
Trochę krócej jeden fragment:
\left( 5, 108\right)=1 \qquad \phi\left( 108\right) =36 \\ 5^{111} \equiv \left( 5^{36}\right)^{3} \cdot 5^{3} \equiv 125 \equiv 17 \pmod{108}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 (3 zadania) Wykaż, że liczby są podzielne przez ...  Anonymous  5
 (4 zadania) Sprawdz podzielność liczb przez 10  Anonymous  4
 Udowodnij twierdzenie. Podzielność liczby przez 11  Anonymous  3
 (3 zadania) Udowodnić podzielność przez 9. Wykazać, że  basia  2
 Dowód na poprawność zasady podzielności przez 9  magik100  12
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl