szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 kwi 2013, o 22:34 
Użytkownik

Posty: 174
Lokalizacja: ffff
Hi.

Jak znaleźć funkcję f, która spełnia następującą równość:
f(x) = f(x_1)f(x_2) \\gdy:
x = x_1 + x_2
Jak w ogóle podchodzić do takich zadań?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 kwi 2013, o 23:02 
Użytkownik

Posty: 3557
Lokalizacja: Wrocław
Wątpię, by można było wyprowadzić wzór takiej funkcji z samej równości. Nasuwa się funkcja wykładnicza f(x)=a^x
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 kwi 2013, o 23:10 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 46
Jedyne co zauważyłem, że w f(0)=f^2(0) zatem funkcja dla 0 przyjmuje wartość 0 lub 1. Po za tym zgadzam się z przedmówcą. Może to nie jest pełna treść zadania?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 kwi 2013, o 09:11 
Użytkownik

Posty: 1958
Lokalizacja: Wrocław
Przyda się chyba jeszcze jakiś warunek początkowy np. a=f(1).
Wtedy rozwiązaniami tego równania funkcyjnego, w klasie funkcji mierzalnych w sensie Lebesgue'a, są funkcje postaci f(x)=a^{x} oraz funkcja tożsamościowo równa zero.
Zauważmy bowiem, że kładąc x=y=\frac{w}{2} dostajemy f(w)=\left(f(\frac{w}{2})\right)^{2}, czyli f jest funkcją nieujemną.
Gdyby w pewnym punkcie x_0 przyjmowała wartość 0 tzn. f(x_0)=0, to wówczas mielibyśmy dla dowolnego x\in\mathbb{R}:
f(x)=f(x-x_0+x_0)=f(x_0)f(x-x_0)=0

czyli f byłaby tożsamościowo równa zero.
Jeśli więc f nie jest tożsamościowo równa zero, to przyjmuje tylko wartości dodatnie. Po zlogarytmowaniu stronami wyjściowego równania i podstawieniu g(x)=\ln f(x) otrzymujemy rówanie funkcyjne Cauchy'ego g(x+y)=g(x)+g(y) , którego rozwiązaniem są funkcje g(x)=bx. Stąd
f(x)=e^{bx},ale a=f(1)=e^{b} tzn. b=\ln a. Ostatecznie mamy to co chcieliśmy.

EDIT: W sumie ten warunek a=f(1), nie jest jakoś mocno potrzebny.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Równanie funkcyjne - zadanie 2  przemk20  6
 równanie funkcyjne - zadanie 4  MatizMac  6
 Równanie funkcyjne - zadanie 8  patry93  5
 Równanie funkcyjne - zadanie 9  rectussss  5
 równanie funkcyjne - zadanie 13  binaj  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl