szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 30 kwi 2013, o 11:20 
Użytkownik

Posty: 14
Lokalizacja: Radomsko
W trojkącie środkowa AD jest prostopadła do boku AC (tak, AC :P ) oraz |AB|=2|AC|. Oblicz miarę kąta BAC.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 kwi 2013, o 14:45 
Moderator

Posty: 4431
Lokalizacja: Łódź
Skoro środkowa AD jest prostopadła do AC, to kąt BAC jest rozwarty.

Oznaczmy s=|AD|, a=|BD|=|CD|, b=|AC|, \alpha=|\angle ACD|, \beta=|\angle BAD|. Stąd mamy |AB|=2b oraz |\angle ADC|=\frac{\pi}{2}-\alpha, więc |\angle ADB|=\frac{\pi}{2}+\alpha.

Mamy dalej \sin\alpha=\frac{s}{a}. Z twierdzenia kosinusów w trójkącie ABD dostajemy 4b^2=a^2+s^2-2as\cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=a^2+s^2+2as\sin\alpha=a^2+3s^2. Stąd i z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie ACD mamy s=\frac{b\sqrt{3}}{2} oraz a=\frac{b\sqrt{7}}{2}. Korzystając teraz z twierdzenia sinusów (lub kosinusów) w trójkącie ABD otrzymujemy \beta=\frac{\pi}{6} i w konsekwencji |\angle BAC|=\frac{\pi}{2}+\beta=\frac{2}{3}\pi.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 30 kwi 2013, o 18:11 
Użytkownik

Posty: 14
Lokalizacja: Radomsko
...I wszystko jasne, dzieki wielkie ! :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 wysokość i obwód trójkata  Tinia  1
 pole i obwód trójkąta równobocznego - zadanie 2  jartom  1
 Dane są wierzchołki trójkąta - zadanie 2  krzysiekdioda  6
 Wysokość trójkąta prostokątnego - zadanie 4  stachu_los  1
 Kąty w trójkącie (zad olimpijskie)  Calineczka97  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl