szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 maja 2013, o 12:29 
Użytkownik

Posty: 4
Rozwiąż równanie z parametrem a. a \in \mathbb{R}

\frac{1}{x - a} +  \frac{1}{x-1} = \frac{a+1}{a}


x \neq a \wedge x \neq 1 \wedge a \neq 0

Dla a = 0 równanie nie ma sensu.

\frac{1}{x - a} +  \frac{1}{x-1} = \frac{a+1}{a}  \Leftrightarrow \frac{2x-a-1}{(x-a)(x-1)} =  \frac{a+1}{a}  \Leftrightarrow

a(2x-a-1) = (a+1)(x-a)(x-1)

Dla a =-1 otrzymujemyx=0.

a(2x-a-1) = (a+1)(x-a)(x-1) \Leftrightarrow

(a+1)x^2 - (a^2+4a+1)x + 2a^2 + 2a=0

\Delta = (a^2+1)^2
\sqrt{\Delta} = a^2+1

x_{1} =  \frac{2a}{a+1}\qquad  \qquad x_{2} =  a+1

=========================================================
Reasumując
Dla a \in \mathbb{R}-\left\{ -1, 0\right\} równanie ma dwa pierwiastki

x_{1} =  \frac{2a}{a+1}\qquad  \qquad x_{2} =  a+1

Dla a = -1 równanie ma jedno rozwiązanie x=0

Dla a=0 równanie nie ma sensu.
=========================================================
W odpowiedziach mam:
Dla a \in \mathbb{R}-\left\{ -1, 0, 1\right\} równanie ma dwa pierwiastki

x_{1} =  \frac{2a}{a+1}\qquad  \qquad x_{2} =  a+1

Dla a = -1 równanie ma jedno rozwiązanie x=0

Dla a=0 równanie nie ma sensu.

Dla a=1 równanie ma jedno rozwiązanie x=2
=========================================================
Odpowiedź z książki jest prawidłowa. Na którym etapie mam sprawdzić czy są piewiastki dla a=1?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 maja 2013, o 21:33 
Użytkownik

Posty: 22745
Lokalizacja: piaski
Odpowiedź z książki (może masz literówkę) nie jest poprawna - pierwsza część koliduje z ostatnią [edit] - nie jest ok, coś przegapiłem.

Po prostu dla a=1 oba x-sy są jednakowe.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 maja 2013, o 21:55 
Użytkownik

Posty: 4
Dla a=1 równanie przyjmuje postać

\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x-1} = 2

posiadające jedno rozwiązanie x=2
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 maja 2013, o 22:00 
Użytkownik

Posty: 22745
Lokalizacja: piaski
No właśnie trzeba było to zauważyć.

Nie sprawdzałem, ale może delta miała być (a^2-1)^2
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 maja 2013, o 22:14 
Użytkownik

Posty: 4
Ponowiłem obliczenia od początku i \Delta = (a^2+1)^2

W sumie pierwiastki x_1 \ x_2 się zgadzają z odpowiedziami.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 maja 2013, o 22:16 
Użytkownik

Posty: 22745
Lokalizacja: piaski
Tak napisałem, bo dla a=1 mamy x_1=x_2, tak jakby delta była zerowa.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 maja 2013, o 22:20 
Użytkownik

Posty: 4
Rzeczywiście występuje zgodność.

Tak sobie myślę. W założeniach mamy

x \neq a \wedge x \neq 1 \wedge a \neq 0

W szczególności:

x \neq a \wedge x \neq 1

Może tutaj skoro x jest różne od 1 to a jest też różne od 1 bo a jest różne od x?

Edit:

A nie chyba brednie napisałem w tym momencie :)

-- 7 maja 2013, o 09:32 --

Wracając do równania

\frac{2x-a-1}{(x-a)(x-1)} = \frac{a+1}{a}

Niech (x-a)(x-1)=0 \Leftrightarrow x^2 -(a+1)x + a=0

\Delta = (a+1)^2 - 4a = (a-1)^2

Być może tym tropem trzeba pójść tylko jak to uzasadnić.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Równanie z parametrem a - zadanie 3  opti  2
 równanie z parametrem a - zadanie 5  Yuiren  4
 rownanie z parametrem a - zadanie 6  dzun  9
 równanie z parametrem a  czarnulka89  3
 Równanie z parametrem a - zadanie 2  nwnuinr  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl