szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 maja 2013, o 21:50 
Użytkownik

Posty: 256
Lokalizacja: Tarnów
proszę o pomoc w rozwiązaniu takiego zadania

pokazać, że jeśli c \ge 1, to zachodzi nierówność
|\frac{a}{a^2+1}-\frac{b}{b^2+1}| \le c|a-b| dla każdych a,b i że jest to nieprawdą dla pozostałych c
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 maja 2013, o 21:53 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17635
Lokalizacja: Cieszyn
Nierówność mówi, że funkcja f(x)=\frac{x}{x^2+1} spełnia warunek Lipschitza z każdą stałą c\ge 1, a nie spełnia go dla żadnego c<1.

Funkcja mająca ograniczoną na całej prostej pochodną spełnia warunek Lipschitza na całej prostej. Spróbuj sprawdzić czy czasem c=1 nie jest kresem górnym modułu pochodnej. To zakończy sprawę.

Formalizację pomysłu zostawiam Tobie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 maja 2013, o 22:06 
Użytkownik

Posty: 256
Lokalizacja: Tarnów
dziękuję, postaram się coś pokombinować z tym, ale najpierw muszę o tym poczytać, a to zadanie jest z pierwszego paragrafu pierwszego rozdziału książki Kuratowskiego rachunek różniczkowy i całkowy (dodatek), gdzie omówione są wartość bezwzględna, nierówności, indukcja, dwumian Newtona, kresy zbiorów, ogólnie zwykła algebra, a rachunek różniczkowy jest 2 rozdziały dalej - no chyba że pomylili numerację i w złym miejscu to umieścili :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 maja 2013, o 22:11 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17635
Lokalizacja: Cieszyn
Również z Twoją informacją mój pomysł przechodzi. Pokaż, że jedynka jest kresem górnym pochodnej, oszacuj iloraz różnicowy. Możesz zastosować w tym celu twierdzenie Lagrange'a. To nawet prostsze podejście.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 maja 2013, o 22:32 
Użytkownik

Posty: 256
Lokalizacja: Tarnów
Z tw. Lagr... \frac{\frac{b}{b^2+1}-\frac{a}{a^2+1}}{b-a}=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2} dla pewnego a<x<b

powiedzmy, że jestem w stanie pokazać, że 1 to maksimum modułu pochodnej

i to już koniec?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 maja 2013, o 23:12 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17635
Lokalizacja: Cieszyn
Tak. Przy odrobinie rozumowania ta informacja powie Ci, że z żadną stałą mniejszą niż 1 nierówność nie jest prawdziwa. Jeśli jest prawdziwa z jedynką, to trywialnie z każdym c>1.

Dobrej nocy.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 maja 2013, o 00:40 
Użytkownik

Posty: 256
Lokalizacja: Tarnów
dziękuję za pomoc
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Nierówność z wartością bezwzględną - zadanie 3  Piotrek19  4
 Nierówność z wartością bezwzględną - zadanie 4  rkokos  2
 Nierówność z wartością bezwzględną - zadanie 6  petro  2
 Nierówność z wartościa bezwzględną  włóczykij  6
 nierówność z wartością bezwzględną - zadanie 7  Kusiek4  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl