szukanie zaawansowane
 [ Posty: 20 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 maja 2013, o 18:20 
Użytkownik

Posty: 256
Lokalizacja: Tarnów
Jak można wykazać istnienie pierwiastka dowolnego stopnia z liczby dodatniej nie odwołując się do granic? Chciałbym to pokazać, ale nie wiem jak. A może ktoś wie gdzie znajdę taki dowód? Proszę o pomoc
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 maja 2013, o 18:30 
Gość Specjalny

Posty: 5477
Lokalizacja: Toruń
Wynika to z tego, że odwzorowanie f : (0, \infty) \rightarrow (0, \infty) określone wzorem f(x) = x^n jest bijekcją (jest ściśle rosnące). Zatem pierwiastek n-tego stopnia (zdefiniowany jako odwzorowanie odwrotne do f) jest określone poprawnie dla wszystkich x \in (0, \infty ).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 maja 2013, o 19:01 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4544
Lokalizacja: Wrocław
bartek118: to że jest ściśle rosnące nam nie wystarczy do bijektywności (arcus tangens też jest ściśle rosnący, a nie jest bijekcją), potrzebujesz jeszcze właśnie tego, że dąży do nieskończoności — czyli właśnie granicy.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 maja 2013, o 19:14 
Administrator
Avatar użytkownika

Posty: 12708
Lokalizacja: Kraków
Może wystarczy rozważyć przekroje Dedekinda, dzięki którym konstruuje się liczby rzeczywiste?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 maja 2013, o 19:18 
Użytkownik

Posty: 256
Lokalizacja: Tarnów
chodzi o to z tymi przekrojami, że jak podzielimy zbiór liczb rzeczywistych na dwa niepuste zbiory dające w sumie ten zbiór, to albo w jednym jest liczba najmniejsza albo w drugim największa?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 maja 2013, o 19:19 
Administrator
Avatar użytkownika

Posty: 12708
Lokalizacja: Kraków
Tak.

Przekrój Dedekinda
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 maja 2013, o 19:20 
Użytkownik

Posty: 256
Lokalizacja: Tarnów
może być, a mógłbyś coś więcej podpowiedzieć jak zacząć ten dowód?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 maja 2013, o 19:20 
Gość Specjalny

Posty: 5477
Lokalizacja: Toruń
Właściwie to wystarczy mi, że jest ciągłe i nieograniczone, a tu nie trzeba granic
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 maja 2013, o 19:30 
Administrator
Avatar użytkownika

Posty: 12708
Lokalizacja: Kraków
1. Dla liczb rzeczywistych prawdziwe jest:

Każdy niepusty i ograniczony z góry podzbiór zbioru liczb rzeczywistych ma kres górny.

2. Oznaczmy \QQ^+ - liczby wymierne dodatnie. Chcemy skonstruować p:=\sqrt[n]{q}

Definiujemy dwa zbiory

A=\{a\in \QQ^+: a<p\}\\
B=\{a\in \QQ^+: p<b\}

Z uwagi 1. zbiór A ma kres górny. To jest szukany pierwiastek.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 maja 2013, o 19:37 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4544
Lokalizacja: Wrocław
bartek118 napisał(a):
Właściwie to wystarczy mi, że jest ciągłe i nieograniczone, a tu nie trzeba granic

A jak zdefiniujesz ciągłość bez granic?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 maja 2013, o 19:48 
Gość Specjalny

Posty: 5477
Lokalizacja: Toruń
Althorion napisał(a):
bartek118 napisał(a):
Właściwie to wystarczy mi, że jest ciągłe i nieograniczone, a tu nie trzeba granic

A jak zdefiniujesz ciągłość bez granic?


\forall_{x_0 \in D_f} \ \forall_{\varepsilon > 0} \ \exists_{\delta > 0} \ \forall_{x \in B(x_0, \delta)} \ f(x) \in B(f(x_0), \varepsilon)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 maja 2013, o 19:56 
Użytkownik

Posty: 256
Lokalizacja: Tarnów
yorgin a zbiór A jest niepusty, bo np. \lfloor p \rfloor-1 tam należy i wystarczy pokazać z definicji, że p to kres, tak?

bartek118, ale skąd wiesz, że funkcją odwrotną do f jest pierwiastek jak w zadaniu trzeba udowodnić jego istnienie? pewnie źle rozumuję, ale czy to nie jest trochę wtórne?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 maja 2013, o 20:00 
Administrator
Avatar użytkownika

Posty: 12708
Lokalizacja: Kraków
Czeczot, skąd masz pewność, że Twoja liczba tam leży? Co, jeśli \lfloor p \rfloor=0 ?

Przy okazji, na wiki jest trochę o tej konstrukcji

Konstrukcja przekrojami
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 maja 2013, o 20:04 
Użytkownik

Posty: 256
Lokalizacja: Tarnów
fakt, a jak pokazać że zbiór A jest niepusty?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 maja 2013, o 20:06 
Administrator
Avatar użytkownika

Posty: 12708
Lokalizacja: Kraków
Z gęstości - dla dowolnej liczby p potrafisz znaleźć liczbę wymierną a taką, że 0<a<p.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 20 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Istnienie pierwiastka - zadanie 2  mol_ksiazkowy  1
 Definicja pierwiastka n-tego stopnia (dziedzina)  MichalProg  10
 Obliczanie pierwiastka - zadanie 2  NPS  4
 istnienie punktów stałych  juyinkaaa91  1
 Rozstrzygnij istnienie funkcji  pelas_91  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl