szukanie zaawansowane
 [ Posty: 9 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 maja 2013, o 12:10 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: Radom
Wykaż, że n^{2}-1 nie jest kwadratem liczby całkowitej.

Jak to zapisać, żeby uznali mi rozwiązanie na jakimś konkursie matematycznym?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 maja 2013, o 13:23 
Użytkownik

Posty: 3557
Lokalizacja: Wrocław
Ściśle rzecz biorąc, to dla n=1 jest kwadratem zera.

n>1\ \Rightarrow\  -2n<-2\ \Rightarrow\  -2n+1<-1\ \Rightarrow\  n^2-2n+1=(n-1)^2<n^2-1\\\\
n^2>n^2-1>(n-1)^2

no a między n i n-1 nie ma żadnej liczby całkowitej.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 maja 2013, o 13:31 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 415
Lokalizacja: Biała Podlaska
Twoja teza: n^2-1 \neq k^2, n \in \mathbb{N}, k  \in  \mathbb{Z}

Weźmy n=1 i k=0 i szybko przekonujemy się, że 1^2-1=0^2, więc teza jest nieprawdziwa...


Teza byłaby prawdziwa gdyby k \in \mathbb{N}, czyli zadanie brzmiałoby:

"Wykaż, że n^2-1 nie jest kwadratem liczby naturalnej."

Wówczas rozwiązanie wyglądałoby następująco:

n^2-1 \neq k^2 gdzie n, k \in \mathbb{N}


Załóżmy nie wprost, że:

n^2-1=k^2

n^2-k^2 = 1

\left( n-k\right)\left( n+k\right)=1

1 rozkłada się na czynniki 1 \cdot 1 lub -1 \cdot \left( -1\right), ale suma liczb naturalnych nie może być równa -1, stąd rozwiązaniem równania są wszystkie pary liczb n i k, takie że:

\begin{cases} n+k=1 \\ n-k=1 \end{cases}

Rozwiązaniem jest para liczb:
\begin{cases} n=1 \\ k=0 \end{cases}

Ale n, k \in \mathbb{N}, więc k \neq 0, stąd równanie n^2-1=k^2 nie ma rozwiązań w naturalnych, co pociąga za sobą tezę n^2-1 \neq k^2 dla naturalnych n i k.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 maja 2013, o 15:13 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: Radom
Bardzo pomogliście mi:) Dziękuję wam, szczególnie Vether. Pomyliłem się, bo moje pytanie miało brzmieć: "Wykaż, że n^{2}-1 nie jest kwadratem liczby naturalnej", ale dzięki temu nasunęło mi się jeszcze jedno pytanie. Dlaczego w tym ostatnim zdaniu napisałeś, że k \neq 0?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 maja 2013, o 15:18 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 415
Lokalizacja: Biała Podlaska
Ponieważ k \in \mathbb{N} i 0 \notin \mathbb{N}, skąd wniosek, że k nie może być równe 0.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 maja 2013, o 15:25 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: Radom
Heh:) A u mnie w książce pisze, że 0 należy do liczb naturalnych. I weź tu się połap:)
Więc nie należy w takim razie?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 maja 2013, o 15:38 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4544
Lokalizacja: Wrocław
Zależy komu co potrzebne w danym momencie. Kwestia czysto uznaniowa.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 maja 2013, o 15:50 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 415
Lokalizacja: Biała Podlaska
Jak wyżej... To kwestia umowy... ;)

W każdym razie jeśli 0  \in \mathbb{N}, to teza zawarta w treści zadania jest fałszywa bez informacji, że k \neq 0, więc wnioskuję, że autorowi zadania chodziło o zbiór wszystkich dodatnich liczb całkowitych, a więc 0 do niego nie należy.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 maja 2013, o 16:18 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: Radom
Wielkie dzięki:) Teraz już wszystko jasne:) Vether znowu swoim postem mi wszystko rozjaśniłeś:)
Zauważyłem, że w moich zadaniach (nie w tym, które napisałem na forum) dokładnie jest określone "dodatnie liczby naturalne". Teraz już wszystko jasne:) Jeszcze raz wielkie dzięki:)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 9 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Kwadrat liczby naturalnej.  bzyk12  4
 (3 zadania) Wykaż, że liczby są podzielne przez ...  Anonymous  5
 Udowodnij twierdzenie. Podzielność liczby przez 11  Anonymous  3
 (2 zadania) Suma cyfr liczby trzycyfrowej.  Anonymous  1
 Różnica cyfr pewnej liczby wynosi 5 ... Znajdź tę liczb  Tomasz B  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl